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Universität/Hochschule J Fouriertransformation
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-26
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Ciao zusammen!

Folgende Aufgabe soll ich lösen:
Berechne die Fouriertransformation der Funktion $f(x)=\mathrm{e}^{-cx^2}$ mit einer Konstante $c \in \mathbb{R}, c\neq 0$.

Die Fouriertransformation, die wir benutzen sollen, ist
\[
\begin{align*}
    \tilde{f}(k)
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x
\end{align*}
\]
also habe ich, im Wissen, dass gemäss meinem Übungsleiter die Formel für das Gauss-Integral
\[
\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-a(x-b)^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\] für alle $a \neq 0$ und $b \in \mathbb{C}$ genutzt werden soll, losgerechnet:

\[
\begin{align*}
    \tilde{f}(k)
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x \\
    &\quad\color{red}{\downarrow\;\text{Setze $f$ ein.}} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-cx^2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-cx^2-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-(cx^2+\mathrm{i}kx)}\mathrm{d}x
\end{align*}
\]
Hier weiss ich nicht weiter, da der zweite Exponent noch ein $x$ beinhaltet...
\(\endgroup\)


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Kuestenkind Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26

Huhu Phoensie,

ich würde als nächsten Schritt \(c\) ausklammern und eine quadratische Ergänzung vorschlagen.

Gruß,

Küstenkind



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebes Küstenkind

Okay, hier meine Rechnung:

\[
\begin{align*}
    \tilde{f}(k)
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-cx^2-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-c\left(x^2+\frac{\mathrm{i}k}{c}x\right)}\mathrm{d}x \\
    &\quad\color{red}{\downarrow\;\text{Vervollständige das Quadrat.}} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-c\left(x^2+\frac{\mathrm{i}k}{c}x \color{blue}{- \frac{k^2}{4c^2} + \frac{k^2}{4c^2}}\right)}\mathrm{d}x \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-c\left(\left(x + \frac{\mathrm{i}k}{2c}\right)^2 + \frac{k^2}{4c^2}\right)}\mathrm{d}x \\
    &\quad\color{red}{\downarrow\;\text{Distributivgesetz.}} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-c\left(x + \frac{\mathrm{i}k}{2c}\right)^2 - \frac{k^2}{4c}}\mathrm{d}x \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-c\left(x + \frac{\mathrm{i}k}{2c}\right)^2}\mathrm{e}^{-\frac{k^2}{4c}}\mathrm{d}x \\
    &\quad\color{red}{\downarrow\;\text{Das Integral ist linear.}} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{k^2}{4c}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-c\left(x + \frac{\mathrm{i}k}{2c}\right)^2}\mathrm{d}x \\
    &\quad\color{red}{\downarrow\;\text{Gauss-Integral: }\forall c \neq 0,\,\forall b \in \mathbb{C}: \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-c(x-b)^2}\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{c}}.} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{k^2}{4c}} \sqrt{\frac{\pi}{c}} \\
    &\quad\color{red}{\downarrow\;\text{Kürze wo möglich.}} \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2c}}\mathrm{e}^{-\frac{k^2}{4c}}.
\end{align*}
\]
\(\endgroup\)


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Kuestenkind Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-26

Huhu Phoensie,

also mich hast du zumindest damit überzeugt. Dir noch einen schönen Abend!

Gruß,

Küstenkind



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26
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Im Übrigen sieht die Grafik der Funktionen $f$ (rot) und $\tilde{f}$ (blau) für $c=1$ wiefolgt aus:
\(\endgroup\)


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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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