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  Zentralkraftfeld
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Hallo zusammen!
ich bräuchte Hilfe, bei der folgenden Fragestellung.
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich unter dem Einfluss der Zentralkraft \( \vec{F}(\vec{r}) = f(r) \vec{e_r} \) im dreidimensionalen Raum.
Nun soll ich eine geeignte, zeiabhängige Basis in Zylinderkoordinaten \( (p, \phi, z): \vec{r}(t) = p(t)\vec{e}_r(t) + z(t) \vec{e}_z \) wählen, sodass sich die folgenden Bewegungsgleichungen ergeben:
\( m \frac{d^2 p}{dt^2} = f(p) + m p(\frac{d \phi}{dt})^2 , \frac{d}{dt} (m p^2 \frac{d \phi}{dt}) = 0, z(t) = 0.\)
Es is noch ein Hinweis angegeben, nämlich, dass \( \vec{e}_z\) nicht zeitabhänig ist, aber es für Zentralkräfte eine naheliegende Wahl gibt und dass \( \vec{e}_r = (\cos(\phi), \sin(\phi))^T\) ist.
Ich bin leider ziemlich verwirrt, wie ich diese Zylinderkoordinaten finden soll.
Ich bedanke mich für eure Hilfestellung im Vorraus!
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Hallo cphysik,
Du hast die Basis für Zylinderkoordinaten gegeben \(e_r = (\cos(\phi), sin(\phi),0) \hspace{1cm} e_\phi = (-sin(\phi), cos(\phi),0) \hspace{1cm}. \, e_z = (0,0,1)\)
Gesucht wird nun die Bewegungsgleichung eines Teilchens in Zylinderkoordinaten. Also Newton \[ \vec F = m \cdot a = m \cdot \ddot r \].
Nun brauchen wir \(\ddot {\vec r} = \partial_t^2 ( p(t) e_r +z(t) e_z) = \partial_t (\dot p e_r + p \dot \phi e_\phi + \dot z e_z) = ...\).
Diese setzt du einfach in Newton ein und beachtest, dass die Basis Orthogonal ist.
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Hallo Rathalos,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.
Ok, nun habe ich \( m \ddot{r} \) gebildet und bekommen erwartungsgemäß
\( m \ddot{r} = m ((\ddot{p} - p \dot{\phi}^2) \vec{e}_r + (p \ddot{\phi} + 2 \dot{p} \dot{\phi}) \vec{e}_{\phi} + \ddot{z} \vec{e}_z) \).
So, nun ist die Frage wie mir hier die Orthogonalität weiterhelfen soll, weil diese bedeutet ja \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), wenn beide orthogonal aufeinander sind. Da aber die Einheitsvektoren nie miteinander multipliziert werden, kann ich das ja auch nicht anwenden oder bin ich falsch unterwegs.
Tut mir leid für so eine, wahrscheinlich, triviale Frage.
LG
cphysik
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Hallo cphysik,
Eingesetzt in Newton hast du dann
\( f(r)e_r = m ((\ddot{p} - p \dot{\phi}^2) \vec{e}_r + (p \ddot{\phi} + 2 \dot{p} \dot{\phi}) \vec{e}_{\phi} + \ddot{z} \vec{e}_z) \).
Nun bilde das Skalarprodukt mit \(e_r, e_\phi, e_z\) auf beiden Seiten und du bekommst deine 3 Gleichungen.
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Hallo Rathalos,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung, ich habe es hinbekommen und nun ergibt es auch Sinn, danke!!
LG
cphysik
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