| |
| Autor |
  Zentralkraftfeld |
|
cphysik
Junior 
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 7
 |
Hallo zusammen!
ich bräuchte Hilfe, bei der folgenden Fragestellung.
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich unter dem Einfluss der Zentralkraft \( \vec{F}(\vec{r}) = f(r) \vec{e_r} \) im dreidimensionalen Raum.
Nun soll ich eine geeignte, zeiabhängige Basis in Zylinderkoordinaten \( (p, \phi, z): \vec{r}(t) = p(t)\vec{e}_r(t) + z(t) \vec{e}_z \) wählen, sodass sich die folgenden Bewegungsgleichungen ergeben:
\( m \frac{d^2 p}{dt^2} = f(p) + m p(\frac{d \phi}{dt})^2 , \frac{d}{dt} (m p^2 \frac{d \phi}{dt}) = 0, z(t) = 0.\)
Es is noch ein Hinweis angegeben, nämlich, dass \( \vec{e}_z\) nicht zeitabhänig ist, aber es für Zentralkräfte eine naheliegende Wahl gibt und dass \( \vec{e}_r = (\cos(\phi), \sin(\phi))^T\) ist.
Ich bin leider ziemlich verwirrt, wie ich diese Zylinderkoordinaten finden soll.
Ich bedanke mich für eure Hilfestellung im Vorraus!
|
 Für cphysik bei den Matheplanet-Awards stimmen
 Notiz  Profil
 Quote
 Link |
Rathalos
Aktiv 
Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 154
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26
|
Hallo cphysik,
Du hast die Basis für Zylinderkoordinaten gegeben \(e_r = (\cos(\phi), sin(\phi),0) \hspace{1cm} e_\phi = (-sin(\phi), cos(\phi),0) \hspace{1cm}. \, e_z = (0,0,1)\)
Gesucht wird nun die Bewegungsgleichung eines Teilchens in Zylinderkoordinaten. Also Newton \[ \vec F = m \cdot a = m \cdot \ddot r \].
Nun brauchen wir \(\ddot {\vec r} = \partial_t^2 ( p(t) e_r +z(t) e_z) = \partial_t (\dot p e_r + p \dot \phi e_\phi + \dot z e_z) = ...\).
Diese setzt du einfach in Newton ein und beachtest, dass die Basis Orthogonal ist.
|
Für Rathalos bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
cphysik
Junior
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
|
Hallo Rathalos,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.
Ok, nun habe ich \( m \ddot{r} \) gebildet und bekommen erwartungsgemäß
\( m \ddot{r} = m ((\ddot{p} - p \dot{\phi}^2) \vec{e}_r + (p \ddot{\phi} + 2 \dot{p} \dot{\phi}) \vec{e}_{\phi} + \ddot{z} \vec{e}_z) \).
So, nun ist die Frage wie mir hier die Orthogonalität weiterhelfen soll, weil diese bedeutet ja \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), wenn beide orthogonal aufeinander sind. Da aber die Einheitsvektoren nie miteinander multipliziert werden, kann ich das ja auch nicht anwenden oder bin ich falsch unterwegs.
Tut mir leid für so eine, wahrscheinlich, triviale Frage.
LG
cphysik
|
Für cphysik bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Rathalos
Aktiv
Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 154
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27
|
Hallo cphysik,
Eingesetzt in Newton hast du dann
\( f(r)e_r = m ((\ddot{p} - p \dot{\phi}^2) \vec{e}_r + (p \ddot{\phi} + 2 \dot{p} \dot{\phi}) \vec{e}_{\phi} + \ddot{z} \vec{e}_z) \).
Nun bilde das Skalarprodukt mit \(e_r, e_\phi, e_z\) auf beiden Seiten und du bekommst deine 3 Gleichungen.
|
Für Rathalos bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
cphysik
Junior
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
|
Hallo Rathalos,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung, ich habe es hinbekommen und nun ergibt es auch Sinn, danke!!
LG
cphysik
|
Für cphysik bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
