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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Quotientenkörper universelle Eigenschaft
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Universität/Hochschule J Quotientenkörper universelle Eigenschaft
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-26


Hallo,
ich habe kleine Probleme mit Gleichheiten bei Quotientenkörpern. Genauer folgende beiden Beispiele:
1) In wie fern gilt hier Gleichheit:
$\operatorname{Quot}(\mathbb{Z}[a])=\mathbb{Q}(a)$, wobei $a\in \mathbb{C}$
$\operatorname{Quot}(O_K)=K$ für einen Zahlkörper $K/\mathbb{Q}$.

Ich glaube es handelt sich einfach nicht um Gleichheiten, wegen mengentheoretischen Sachen. So wie $\operatorname{Quot}(L)$ nicht $L$ ist für einen beliebigen Körper $L$, sondern nur isomorph (weil wir links Äquivalenzklassen einführen).
2) Eher, dass die rechte Seite die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers erfüllt oder?
3) Wenn ich beweisen muss, dass etwas der Quotientenkörper ist, sollte ich also am besten mit der universellen Eigenschaft alles nachrechnen?
4) Und wenn ich mit Elementen von Quotientenkörpern rechnen muss, dann sollte ich den eindeutigen Isomorphismus benutzen, zu dem "bekannten" Körper und dort lieber rechnen oder?

Außerdem habe ich Probleme das erste nachzurechnen.
Das zweite habe ich hinbekommen (man muss nur ausnutzen, dass für alle $x\in K$ ein $a\in \mathbb{Z}\setminus\lbrace 0\rbrace $ existiert, s.d. $ax\in O_K$ und dann alles nachrechnen).

Hmm wenn ich mich nicht irre kann man 1 analog machen? Man muss ja nur zeigen $\operatorname{Quot}(\mathbb{Z}[a])= \operatorname{Quot}(\mathbb{Q}[a])$. Dann lifte ich einen Ringhomo von $\mathbb{Z}[a]$ hoch auf $\mathbb{Q}[a]$ ähnlich wie oben (man findet ein $z\in\mathbb{Z}$, s.d. das Produkt in $\mathbb{Z}[a]$ liegt...). Dann liftet man dies erneut hoch mit der universellen Eigenschaft. Eindeutigkeit müsste auch leicht sein.

Vielen Dank im Voraus!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26


Ja, Quotientenkörper sind universelle Objekte und daher nur bis auf Isomorphie bestimmt, und mengentheoretische Inklusionen sind in der Mathematik außerhalb der Mengenlehre praktisch nutzlos und sollten durch Monomorphismen ersetzt werden.

Folgendes Lemma hilft, um Quotientenkörper zu erkennen:

Sei $R$ ein Integritätsring, $K$ ein Körper, $i : R \to K$ ein injektiver Ringhomomorphismus mit der Eigenschaft, dass es für alle $q \in K$ ein Paar $a,b \in R$ gibt mit $b \neq 0$ und $q = i(a)/i(b)$. Dann ist $(K,i)$ ein Quotientenkörper von $R$.

Das lässt sich insbesondere bei deinen beiden Beispielen anwenden.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26


Wie immer exzellent, danke!



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28



Folgendes Lemma hilft, um Quotientenkörper zu erkennen:

Sei $R$ ein Integritätsring, $K$ ein Körper, $i : R \to K$ ein injektiver Ringhomomorphismus mit der Eigenschaft, dass es für alle $q \in K$ ein Paar $a,b \in R$ gibt mit $b \neq 0$ und $q = i(a)/i(b)$. Dann ist $(K,i)$ ein Quotientenkörper von $R$.

Für die Nachwelt:
Ich wollte das Lemma auf Lokalisierungen verallgemeinern, was leider eine nicht so "schöne" Form hat:
$R$ kommutativer Ring (mit 1), $S$ multiplikative Teilmenge. Die Lokalisierung erfüllt eine universelle Eigenschaft. Das Kriterium ist dann:
Sei $(i,R')$ ein Paar bestehend aus einem Ring $R'$ und einem Ringhomomorphismus $i:R\to R'$ mit $i(S)\subset R'^{\times}$, s.d. für alle $r'\in R'$ Elemente $r\in R, s\in S$ existieren mit $r' = i(r)/i(s)$.
Ferner nehmen wir an, dass falls $i(r)=0$, dann existiere ein $s\in S$, s.d. $sr=0$. Dann erfüllt $(i,R')$ die universelle Eigenschaft der Lokalisierung $S^{-1}R$.

Das ist genau das, was oben in Triceratops Nachricht geschrieben steht, nur fällt der letzte Teil weg (wichtig für die Wohldefiniertheit bei der Konstruktion des offensichlichen Morphismus), weil $i$ injektiv ist dort.

Das Lemma ist auch an sich praktisch, wie man bei dieser Anwendung hier sieht:
$R$ beliebig, $S:= \lbrace 1, a, a^2,...\rbrace$ mit einem beliebigen $a\in R$. Dann gilt: $R[X]/(aX-1)$ ist die Lokalisierung $S^{-1}R$.

Man kann das Lemma oben anwenden, oder es direkt nachrechnen.
Das direkte Nachrechnen war aber schöner, da man nicht wirklich mit Elementen rechnen musste 😁
Vielleicht findet das Lemma eine bessere Anwendung irgendwo anders.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-28


Sehr gut.

$R[X]/\langle aX-1 \rangle \cong R[a^{-1}]$ ist klar, weil beide Seiten den Funktor $\{f \in \mathrm{Hom}(R,-) : f(a) \text{ invertierbar}\}$ darstellen.

Siehe auch
article.php?sid=1430
Anwendung C4.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-28


Irgendwie erinnert mich das an das Konzept der "internen direkten Summe", was dann gerne von der "externen direkten Summe" abgegrenzt wird.

Die externe direkte Summe ist eine konkrete Konstruktion. Wichtig ist aber eigentlich nur, dass die universelle Eigenschaft besteht.

Die interne direkte Summe zeichnet sich dadurch aus, dass eine Isomorphie zur externen direkten Summe besteht, das heißt die universelle Eigenschaft gilt.

Man kann beides vereinheitlichen, indem man einer direkten Summe spricht, wenn die universelle Eigenschaft gilt. Allgemeiner spricht man in der Kategorientheorie dann von einem Kolimes (nicht dem Kolimes).

Genauso wie wir hier eine Art "interne Lokalisierung" beschrieben haben, die dann zur "externen Lokalisierung" (Konstruktion mit irgendwelchen Äquivalenzklassen) isomorph ist, vor allem aber die universelle Eigenschaft der Lokalisierung erfüllt.

Quotiententopologien fallen ebenfalls in dieses Schema. Hier geht es um eine interne Kennzeichnung von Differenzkokernen bzw. regulären Epimorphismen in der Kategorie der topologischen Räume.

Etwas spannender, hier eine interne Kennzeichnung von assoziierten Garben: Sei $F$ eine Prägarbe auf einem Raum $X$, $G$ eine Garbe auf $X$ und $\varphi : F \to G$ ein Morphismus von Prägarben. Genau dann ist $\varphi$ eine assoziierte Garbe von $F$, wenn gilt:
(a) Für jeden Schnitt $c \in G(U)$ gibt es eine offene Überdeckung $U = \bigcup_{i \in I} U_i$, sodass jeweils $c|_{U_i}$ im Bild von $\varphi_{U_i} : F(U_i) \to G(U_i)$ liegt. Kurz: $\varphi$ ist lokal surjektiv.
(b) Wenn $a,b \in F(U)$ Schnitte mit $\varphi_U(a)=\varphi_U(b)$ sind, so gibt es eine offene Überdeckung $U = \bigcup_{i \in I} U_i$, sodass jeweils $a|_{U_i} = b|_{U_i}$ gilt. Kurz: $\varphi$ ist lokal injektiv.



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Red_
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Jetzt wo du es sagst, sehe ich es auch. Nice 😄
Den letzten Teil kann ich leider noch nicht nachvollziehen, da ich die Begriffe noch nicht kenne...



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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