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Universität/Hochschule J Existenz injektiven und surjektiven Abbildungen -> Existenz bijektive Abbildung
Arero Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 26.11.2019, Mitteilungen: 5
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Themenstart: 2020-10-27

Hallo zusammen,
ich hatte mich neulich gefragt, ob die Aussage: "wenn zwischen zwei Mengen $A,B$ sowohl injektive als auch surjektive Abbildungen existieren, dann existieren auch bijektive Abbildungen zwischen den Mengen", wahr ist.

Mir fällt da kein Gegenbeispiel, aber auch kein Beweis ein. Ich meine, vielleicht ist die Aussage auch komplett falsch 😄, aber ausm Bauch heraus würde ich meinen, dass die doch gelten müsste, oder nicht?

Wenn ich z.B. annehme, dass $f:A\rightarrow B$ injektiv und $g:A\rightarrow B$ surjektiv ist, kann man da irgendwie folgern, dass es eine Abbildung $h:A\rightarrow B$ geben muss, die bijektiv ist? Bei endlichen Mengen ist es ja kein Problem, da dann $\#A=\#B$ folgt und man damit die Existenz einer bijektiven Abbildung erhält. Ein Problem wird es bei unendlichen Mengen.

Vielleicht ist es auch ganz trivial zu zeigen. Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich da gerade richtig auf dem Schlauch stehe. In meinen lineare Algebra und Analysis Büchern habe ich irgendwie nichts gefunden, was mir da weiter geholfen hat.

Danke schon mal im Voraus :)



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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

Hallo Arero,

2020-10-27 01:26 - Arero im Themenstart schreibt:
Wenn ich z.B. annehme, dass $f:A\rightarrow B$ injektiv und $g:A\rightarrow B$ surjektiv ist, kann man da irgendwie folgern, dass es eine Abbildung $h:A\rightarrow B$ geben muss, die bijektiv ist?
Ja das kann man tatsächlich.

2020-10-27 01:26 - Arero im Themenstart schreibt:
Vielleicht ist es auch ganz trivial zu zeigen.
Nein das ist überhaupt nicht trivial :)

Du kannst Dir leicht überlegen, dass aus der Existenz einer surjektiven Abbildung \(g\colon A\to B\) folgt, dass es eine injektive Abbildung \(\tilde{g}\colon B\to A\) gibt. (Wähle für \(b\in B\) einfach \(\tilde{g}(b)\in g^{-1}(b)\) mit dem Auswahlaxiom).

Da Du auch angenommen hast, dass es eine injektive Abbildung \(f\colon A\to B\) gibt, folgt die Existenz einer bijektiven Abbildung \(h\colon A\to B\) jetzt aus dem Satz von Cantor-Bernstein-Schröder:



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Arero Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 26.11.2019, Mitteilungen: 5
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27

Vielen Dank sonnenschein96 :)
Den Schritt aus der Surjektion $g:A\rightarrow B$ eine Injektion $g':B\rightarrow A$ zu gewinnen hatte ich mir sogar auch überlegt. Wusste aber nicht, dass man damit tatsächlich weiter kommt, bzw. wie man dann damit eine bijektive Funktion $h:A\rightarrow B$ gewinnt.

Hätte ich da mal etwas genauer in ein paar Bücher über Mengenlehre geschaut 😂



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