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Universität/Hochschule Zwei Fragen zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz
Simon_St2 Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Themenstart: 2020-10-28

Hallo,
hier die beiden Fragen:

1) Wie kann man die Gödelnummer von dem Satz bestimmen, der von sich selbst behauptet er sei nicht beweisbar (Gödelscher Satz)?

2) Was ist mit dem Wahrheitswert des Gödelschen Satzes? Er kann in keinem Modell der betrachteten Theorie falsch sein, da er sonst beweisbar wäre und somit wahr in diesem Modell. Ist er in jedem Modell der betrachteten Theorie (z.B. Peano-Arithmetik) wahr ist er beweisbar wegen der Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe.

Vielen Dank schon mal für die Antworten.



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Zwerg_Allwissend Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29

2020-10-28 17:32 - Simon_St2 im Themenstart schreibt:
2020-10-28 17:32 - Simon_St2 im Themenstart schreibt:
1) Wie kann man die Gödelnummer von dem Satz bestimmen, der von sich selbst behauptet er sei nicht beweisbar (Gödelscher Satz)?

Der Satz besagt sinngemäß, daß es eine wahre arithm. Aussage A gibt, die nicht innerhalb der Peano-Arithmetik beweisbar ist. In der Peano-Arithmetik geht es um natürliche Zahlen, also muß A durch einen arithm. Ausdruck codiert werden. Dies geschieht mittels der Gödelisierung. Das ist dann reine Technik deren Kenntnis keinerlei Einsichten in die Materie vermittelt.

2020-10-28 17:32 - Simon_St2 im Themenstart schreibt:
2) Was ist mit dem Wahrheitswert des Gödelschen Satzes? Er kann in keinem Modell der betrachteten Theorie falsch sein, da er sonst beweisbar wäre und somit wahr in diesem Modell. Ist er in jedem Modell der betrachteten Theorie (z.B. Peano-Arithmetik) wahr ist er beweisbar wegen der Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe.

Ich nehme mal an mit "Gödelschen Satz" ist der nicht-beweisbare Satz (also "A" aus der vorherigen Antwort) gemeint. Dieser Satz gilt in der Peano-Arithmetik, d.h. er ist wahr. Anderfalls wäre A ja kein Beleg für die Unvollständigkeit, denn ein Beweissystem in dem falsche Sätze nicht herleitbar sind ist nicht notwendigerweise unvollständig

Du hast die Sache noch nicht ganz begriffen: "Er kann in keinem Modell der betrachteten Theorie falsch sein, da er sonst beweisbar wäre ..." - das ist eben falsch. Satz A ist nicht falsch (und somit wahr), aber eben nicht beweisbar.

Mit der Prädikatenlogik 1. Stufe hat das nichts zu tun. Dort geht es um Allgemeingültigkeit, d.h. Wahrheit in ALLEN Modellen der gegebenen Axiome.

Bei der Peano-Arithmetik geht es nur um EIN Modell (bis auf Isomorphie).



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Simon_St2 Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-04

Du schreibst:
"Mit der Prädikatenlogik 1. Stufe hat das nichts zu tun. Dort geht es um Allgemeingültigkeit, d.h. Wahrheit in ALLEN Modellen der gegebenen Axiome.

Bei der Peano-Arithmetik geht es nur um EIN Modell (bis auf Isomorphie)."

Darum geht es mir genau: Ich möchte alle Modelle der Peanoaxiome betrachten. Ist eine Aussage in allen Modellen der Peanoaxiome wahr, dann ist die Aussage auch beweisbar (wegen der Vollständigkeit). Deshalb betrachte ich erstmal alle Modelle einzeln, und stelle fest, dass in jedem Modell der Satz nicht falsch sein kann. Er kann aber auch nicht in jedem Modell wahr sein.




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Zwerg_Allwissend Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-05

2020-11-04 19:37 - Simon_St2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist eine Aussage in allen Modellen der Peanoaxiome wahr, dann ist die Aussage auch beweisbar (wegen der Vollständigkeit).
Richtig.

2020-11-04 19:37 - Simon_St2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Deshalb betrachte ich erstmal alle Modelle einzeln, und stelle fest, dass in jedem Modell der Satz nicht falsch sein kann.
Warum?



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Simon_St2 Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-07 14:57

Warum?

Da ich vermute, dass man diesem Satz gar keinen Wahrheitswert zuordnen kann. Er kann nie falsch sein, aber auch nicht immer wahr sein.



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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-09 00:02

2020-11-07 14:57 - Simon_St2 in Beitrag No. 4 schreibt:
Warum?

Da ich vermute, dass man diesem Satz gar keinen Wahrheitswert zuordnen kann. Er kann nie falsch sein, aber auch nicht immer wahr sein.

"Vermuten" ist kein Argument. Oben hast Du geschrieben "... und stelle fest ...". Daher meine Frage: Wie lautet der Beleg für Deine Feststellung?



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Simon_St2 Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09 14:02

Ich denke, der Satz dreht sich im Kreis zwischen Syntax und Semantik, wie ein Paradoxon. Deshalb suche ich etwas was sich nicht im Kreis dreht: Es spricht nichts dagegen einfach alle Modelle der Theorie zu betrachten, und dann jedes Modell einzelnt. Wie gesagt, in jedem Modell kann der Satz nicht falsch sein. Aber auch nicht in jedem Modell wahr!



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Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-09 18:58

2020-11-09 14:02 - Simon_St2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich denke, der Satz dreht sich im Kreis zwischen Syntax und Semantik, wie ein Paradoxon.
Sätze drehen sich nicht, und schon gar nicht zwischen Syntax und Semantik.

2020-11-09 14:02 - Simon_St2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Es spricht nichts dagegen einfach alle Modelle der Theorie zu betrachten, und dann jedes Modell einzelnt.
Nicht Modelle der "Theorie" sondern der Peano-Axiome.

2020-11-09 14:02 - Simon_St2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Wie gesagt, in jedem Modell kann der Satz nicht falsch sein. Aber auch nicht in jedem Modell wahr!
Dann könnte man auch sagen, in (mindestens) einem Modell ist der Satz falsch und folglich in einem (korrekten) Kalkül nicht herleitbar (qed).



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Simon_St2 Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16 17:19

Dann könnte man auch sagen, in (mindestens) einem Modell ist der Satz falsch und folglich in einem (korrekten) Kalkül nicht herleitbar (qed).


Wenn der Satz in einem Modell falsch ist und demzufolge dessen Negation wahr, dann sagt er, dass er beweisbar ist.



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Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-16 23:18

2020-11-16 17:19 - Simon_St2 in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn der Satz in einem Modell falsch ist und demzufolge dessen Negation wahr, dann sagt er, dass er beweisbar ist.

Eine Formel ist mit Mitteln der 1. Stufe aus den Peano-Axiomen nur dann herleitbar, wenn die Formel in allen Modellen der Peano Axiome gilt. Ist ein Satz in (mindestens) einem Modell dagegen falsch, dann ist er eben auch nicht herleitbar, egal was der Satz oder sein Negat "sagt".



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