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Mathematik » Zahlentheorie » Primzahlenverteilung
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Universität/Hochschule Primzahlenverteilung
Iterator Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Themenstart: 2020-10-28

Bekanntlich haben die Primzahlen > 2 ja die Darstellung 4*k+1 oder 4*k-1.

Meine Frage dazu:
Es gibt ja nicht zu jedem k (mind.) eine Primzahl, oder?
Kann man etwas zu der Verteilung von k aussagen?




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StrgAltEntf Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-28

Hallo Iterator,

die Primzahl 2 fällt nicht in dieses Konzept.

2020-10-28 20:52 - Iterator im Themenstart schreibt:
Es gibt ja nicht zu jedem k (mind.) eine Primzahl, oder?

Wähle etwa k = 16.



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PrinzessinEinhorn Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-28

Hallo,


Gibt es zu jedem k (mind.) eine Primzahl?

wenn du es wörtlich meinst, dann ist die Antwort natürlich zu verneinen.

Schon für $k=14$ erhält man $4\cdot 14\pm 1=57, 55$. Weder 57 noch 55 ist eine Primzahl.
Also haben wir ein Gegenbeispiel gefunden. Ein $k$ für das beide Darstellung keine Primzahl ist.

Sonst wäre die Suche nach Primzahlen ja auch sehr einfach, wenn es eine so einfache Formel gibt, die Primzahlen erzeugt.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Iterator Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Ja, du hast Recht. Habe die Frage entsprechend angepasst.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-28

Vielleicht suchst du ja nach sowas hier



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Iterator Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Was ich suche, sind eher Aussagen über k.
Ist zB. die Verteilung von Primzahlen für k=2m und k=2m+1 gleich?

Die Idee dahinter ist einfach:

Primzahl > 2:

i) 2*k+1

k=2k' oder 2k'+1

ii) 4k'+1 oder 4k'+3

k'=2k'' oder k=2k''+1

iii) 8k''+1 oder 8k''+5 oder 8k''+3 oder 8k''+7

k''=2k''' oder k''=2k'''+1...

Sind die Verteilungen für alle k'''.. gleich?
Dann müsste die verteilung der Primzahlen ja fraktal sein, oder?



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-28

Vielleicht das hier.

Ich verstehe leider nicht worauf du genau hinaus willst bzgl. $k$.

Edit: Der Link müsste deine Frage i) beantworten. Da der Sachverhalt leider nicht gut studiert worden ist bisher, würde ich ii) und iii) nicht als beantwortbar erklären (da es ad hoc schwieriger ist als i)).
Die Verteilung ist gleich nach dem ersten Link, den ich geschickt habe.

Der erste Link sagt ja gerade, dass die Verteilung bzw. die Dichtheit der Primzahlen von dieser Form gegen den selben Grenzwert streben. D.h. für große $n$ ist die Dichtheit/Verteilung fast gleich.
Der zweite Link sagt, dass wir zwar für große $n$ fast gleiche Werte haben, aber der eine Wert aus unerklärlichen Gründen fast immer kleiner ist als der andere (salopp gesagt).



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Iterator Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Naja, die verschiedenen Substitutionen mit k'''.. beschreiben verschiedene Zweige an Primzahlenverteilungen. Wenn alle Zweige gleichverteilt wären, dann, denke ich, hätte man eine fraktale Verteilung. Also k wäre verteilt wie k' wäre verteilt wie k'' usw.

Okay, die Links sind wieder Aussagen über Primzahlen von 4k+1 und 4k+3.
Es ist keine Aussage über k selbst. Da muss man unterscheiden.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-28

Was erhoffst du dir genau über $k$?
1) Etwa, ob es schon Untersuchen gab bzgl. des Quotienten von ,,wie oft ist $4k+1$ eine Primzahl für $1\leq k \leq n$" geteilt durch $n$?
2) Oder für welche $k$ eine Primzahl rauskommt bei $4k+1$?
3) Für $k$ von 1 bis $n$, was ist öfters eine Primzahl: $4k+1$ oder $4k+3$?
 
1) und 3) wurden in den Links untersucht.
2) ist bisher nicht beantwortbar (zumindest solltest es kein praktisches Verfahren geben; theoretische könnte es jedoch geben)

Vielleicht solltest du deine Frage mathematisch formulieren; was genau meinst du mit Verteilung. Welche Größe ist dir von Interesse? Benutze Symbole, definiere alle freien Variablen, die dir im Kopf rumschwirren und schreibt es schön auf.

Ich werde die Frage sowieso nicht beantworten können, aber dennoch würde mich deine Frage interessieren.



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Iterator Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Das Vorgehen ist völlig analog zu Betrachtungen natürlicher Zahlen.

So kann man herkömmlich fragen: Wie gross ist die Anzahl der Primzahlen #p kleinergleich einer natürliche Zahl n: #p <=n (Mächtigkeit dieser Primzahlenmenge).

Diese Frage überträgt man jetzt auf k,k',k'' in den einzelnen Zweigen:

1. Zweig

#p <= k, sodass 2k+1 Primzahl

2. Zweig

a) 4k'+1

#p <= k', sodass 4k'+1 Primzahl

b) 4k'+3

#p <= k', sodass 4k'+3 Primzahl

3. Zweig

a)8k''+1

#p <=k'', sodass 8k''+1 Primzahl

b) 8k''+3, sodass 8k''+3 Primzahl
... usw.

man zählt also in den Zweigen über die Anzahl von k''.., sodass man eine Primzahl erhält. Zählt man also bis k=k'=k''=..=n, so sollte das etwas über die verschiedenen Verteilungen der Zweige aussagen.
Man kann alle Fragen an Primzahl über n so auf k''.. übertragen.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-28

In wie fern unterscheidet sich das von der Anzahl der Primzahlen bis $n$?
Du hast nur die "extra Bedingung" $4n+1$ oder $4n-1$ oder... ist eine Primzahl.
Ich glaube nicht, dass diese extra Information etwas genaueres über die Anzahl der Primzahlen sagen kann (habe leider noch Null Ahnung auf dem Gebiet der analytischen oder algebraischen Zahlentheorie)



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