Bei (iii) habe ich leider überhaupt keine Ideen, wie ich auf die Inverse Matrix schließen soll. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?

2020-10-30 09:20 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,


Multipliziere die Gleichung mit $A^{-1}$ und stelle dann nach $A^{-1}$ um.

Zu II):

Du kannst es händisch nachrechnen.

Deine Rechnung erinnert an den "Fakebeweis" von dem Satz von Cayley-Hamilton.
Du darfst die Matrix $A$ in der Definition des charakteristischen Polynoms nicht einsetzen.

Muss ich dann also in (ii) füra3,a2,A1 und a0 die Werte einsetzen, die ich in (i)rausgefunden habe

Ich hatte das eher als allgemeine Aufgabe empfunden.

2020-10-31 09:46 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3 schreibt:

Die Koeffizienten $a_3, a_2, a_1, a_0$ sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms $p_A(\lambda)$.
Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms.

Du hast die Koeffizienten vermutlich also schon in Aufgabenteil I) bestimmt. Es kommt also darauf an, welche Werte du genau meinst, die du in Aufgabenteil (I) bestimmt hast.


Die Aussage gilt dann ja auch eigentlich allgemein. Das ist der Satz von Cayley-Hamilton.

Für den Beweis von Cayley-Hamilton existiert eine einfache Rechnung, die so aussieht wie deine. Aber die Rechnung ist falsch, und so einfach kann man es sich nicht machen.

Das Problem ist, dass du in der Berechnung des charakteristischen Polynoms du eine Matrix einsetzt, wo keine Matrix eingesetzt werden darf.

Das Ergebnis wäre zwar korrekt, aber du musst es auf anderen Weg erhalten.