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Lineare Algebra » Eigenwerte » Charakteristisches Polynom und inverse Matrix
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Universität/Hochschule Charakteristisches Polynom und inverse Matrix
kalli50
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  Themenstart: 2020-10-30

Hallo ihr lieben, Hier einmal die Aufgaben auf die ich mich sofort beziehe: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53318_2D375D5B-0EC2-4F67-A01C-B278D0941386.jpeg (i) ist klar und vollständig berechnet. Bei (ii) habe ich mir folgendes überlegt, bin aber noch unsicher: Da Pa (A)= det (A-A*E) => wegen A*E=A, dass A-A*E=0 => det (A-A*E)=det(0)=0 Da nun Pa(A)=0 und Pa(A)= a_3*A^3+a_2*A^2+a_1*A+a_0 gilt a_3*A^3+a_2*A^2+a_1*A+a_0 =0 Bei (iii) habe ich leider überhaupt keine Ideen, wie ich auf die Inverse Matrix schließen soll. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben? Liebe Grüße, Kalli


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PrinzessinEinhorn
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30

Hallo, \quoteon Bei (iii) habe ich leider überhaupt keine Ideen, wie ich auf die Inverse Matrix schließen soll. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben? \quoteoff Multipliziere die Gleichung mit $A^{-1}$ und stelle dann nach $A^{-1}$ um. Zu II): Du kannst es händisch nachrechnen. Deine Rechnung erinnert an den "Fakebeweis" von dem Satz von Cayley-Hamilton. Du darfst die Matrix $A$ in der Definition des charakteristischen Polynoms nicht einsetzen.


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kalli50
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31

\quoteon(2020-10-30 09:20 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1) Hallo, \quoteon Bei (iii) habe ich leider überhaupt keine Ideen, wie ich auf die Inverse Matrix schließen soll. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben? \quoteoff Multipliziere die Gleichung mit $A^{-1}$ und stelle dann nach $A^{-1}$ um. Zu II): Du kannst es händisch nachrechnen. Deine Rechnung erinnert an den "Fakebeweis" von dem Satz von Cayley-Hamilton. Du darfst die Matrix $A$ in der Definition des charakteristischen Polynoms nicht einsetzen. \quoteoff Hallo und vielen Dank für die Antwort. Muss ich dann also in (ii) füra3,a2,A1 und a0 die Werte einsetzen, die ich in (i)rausgefunden habe und dann einfach ausrechnen? Ich hatte das eher als allgemeine Aufgabe empfunden.


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PrinzessinEinhorn
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-31

\quoteon Muss ich dann also in (ii) füra3,a2,A1 und a0 die Werte einsetzen, die ich in (i)rausgefunden habe \quoteoff Die Koeffizienten $a_3, a_2, a_1, a_0$ sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms $p_A(\lambda)$. Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms. Du hast die Koeffizienten vermutlich also schon in Aufgabenteil I) bestimmt. Es kommt also darauf an, welche Werte du genau meinst, die du in Aufgabenteil (I) bestimmt hast. \quoteon Ich hatte das eher als allgemeine Aufgabe empfunden. \quoteoff Die Aussage gilt dann ja auch eigentlich allgemein. Das ist der Satz von Cayley-Hamilton. Für den Beweis von Cayley-Hamilton existiert eine einfache Rechnung, die so aussieht wie deine. Aber die Rechnung ist falsch, und so einfach kann man es sich nicht machen. Das Problem ist, dass du in der Berechnung des charakteristischen Polynoms du eine Matrix einsetzt, wo keine Matrix eingesetzt werden darf. Das Ergebnis wäre zwar korrekt, aber du musst es auf anderen Weg erhalten.


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kalli50
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31

\quoteon(2020-10-31 09:46 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3) \quoteon Muss ich dann also in (ii) füra3,a2,A1 und a0 die Werte einsetzen, die ich in (i)rausgefunden habe \quoteoff Die Koeffizienten $a_3, a_2, a_1, a_0$ sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms $p_A(\lambda)$. Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms. Du hast die Koeffizienten vermutlich also schon in Aufgabenteil I) bestimmt. Es kommt also darauf an, welche Werte du genau meinst, die du in Aufgabenteil (I) bestimmt hast. \quoteon Ich hatte das eher als allgemeine Aufgabe empfunden. \quoteoff Die Aussage gilt dann ja auch eigentlich allgemein. Das ist der Satz von Cayley-Hamilton. Für den Beweis von Cayley-Hamilton existiert eine einfache Rechnung, die so aussieht wie deine. Aber die Rechnung ist falsch, und so einfach kann man es sich nicht machen. Das Problem ist, dass du in der Berechnung des charakteristischen Polynoms du eine Matrix einsetzt, wo keine Matrix eingesetzt werden darf. Das Ergebnis wäre zwar korrekt, aber du musst es auf anderen Weg erhalten. \quoteoff Alles klar, ich glaube ich habe es, vielen Dank schonmal! Ich habe jetzt die Koeffizienten die ich, wie du sagtest, in (I) berechnet habe eingesetzt und dann einfach ausgerechnet, da kam dann auch 0 raus. Das genügt dann für die Aufgabe oder? Also habe ja jetzt nur quasi die Beispielmarrix aus der Aufgabe genommen. Allerdings habe ich mir den formalen Beweis angeguckt, den könnten wir mit unserem bisherigen Kenntnisstand gar nicht führen. Vielen Dank!


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