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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Satz von Parseval
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Universität/Hochschule J Satz von Parseval
vacarn
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Dabei seit: 30.10.2020
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2020-10-30

Hallo :) Ich arbeite zurzeit Steins Fourier Analysis durch und komme bei einem dem Leser überlassenen Beweis absolut nicht weiter. Eine kurze Recherche hat ergeben, dass es sich bei dem im Buch unbenannten Lemma um den Satz von Parseval handelt: Seien $F$ und $G$ zwei Riemann-integrierbare komplexwertige Funktionen über $\mathbb{R}$ mit Periode $2\pi$ und Fourierreihen \[F(x) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} \quad \text{ und } \quad G(x)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}. \] Dann gilt \[\langle F,G \rangle:=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} F(x) \overline{G(x)} dx = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \overline{b_n}. \] Als Hinweis im Buch wird angegeben, die Parseval-Gleichung zu benutzen \[ ||f||^2 = \langle f,f \rangle= \sum |a_n|^2 \] und folgende Identität zu verwenden \[\langle F,G \rangle = \frac{1}{4}\left[ ||F+G||^2 - ||F-G||^2 + i\left( ||F+iG||^2 - ||F-iG||^2\right) \right]. \] Dass letztere Identität gilt, konnte ich schon durch simple Umformungen klären. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich sie mit dem Satz in Verbindung bringen soll, bzw. da generell an den Beweis rangehen kann. Kann mir jemand helfen?


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vacarn
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

Okay, ich war einfach zu doof, die offensichtlichste Lösung anzuwenden und die Parseval-Gleichung auf alle Terme in der langen Identität anzuwenden... Das Ausformen war nervig, aber eigentlich total einfach... ich bitte um Entschuldigung für die unnötige Frage, aber lasse sie mal stehen für die Nachwelt 😃


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