Matroids Matheplanet Forum Index
Forumbereich moderiert von: Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » einfache Integration e^(-|x|)
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Universität/Hochschule einfache Integration e^(-|x|)
tepsi Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 11.12.2019, Mitteilungen: 10, aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Themenstart: 2020-10-30

Hallo zusammen,

ich habe eine stückweise stetige Funktion \(f:=exp(-|x|)\) integriert mit
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = [(-x/|x|)*exp(-|x|)]_{-\infty}^{\infty} = 0   \). Wenn man aber das Integral aufteilt, bekomme ich ein anderes Ergebnis:
\( \int_{-\infty}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{\infty} f(x)dx = 2   \)

Den Hauptsatz der Integralrechnung kann ich hier nicht anwenden, um das Ergebnis durch Ableiten zu Überprüfen, da f nur stückweise stetig ist.

Aber es müsste natürlich das Integrabilitätskriterium für \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx  \) nicht erfüllt sein, das sehe ich leider noch nicht.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 09.03.2015, Mitteilungen: 2996, aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30

Hallo,

2020-10-30 12:41 - tepsi im Themenstart schreibt:
Hallo zusammen,

ich habe eine stückweise stetige Funktion \(f:=exp(-|x|)\) integriert mit
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = [(-x/|x|)*exp(-|x|)]_{-\infty}^{\infty} = 0   \). Wenn man aber das Integral aufteilt, bekomme ich ein anderes Ergebnis:
\( \int_{-\infty}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{\infty} f(x)dx = 2   \)

Den Hauptsatz der Integralrechnung kann ich hier nicht anwenden, um das Ergebnis durch Ableiten zu Überprüfen, da f nur stückweise stetig ist.

Aber es müsste natürlich das Integrabilitätskriterium für \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx  \) nicht erfüllt sein, das sehe ich leider noch nicht.



Die Funktion $f$ ist überall stetig und überall größer als Null. Es muss also ein Wert größer als Null herauskommen. Die Stammfunktion sollte auch überall stetig sein.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5320, aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-30

Hallo,

die Darstellung mit dem Betrag ändert ja nichts daran, dass die Funktion stückweise definiert ist. Das muss man also so machen wie in Version 2 geschehen.

Übrigens ist die Funktion durchgehend stetig, nicht nur stückweise.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tepsi Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 11.12.2019, Mitteilungen: 10, aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

Vielen Dank an die beiden Antwortenden!

Sei also \( \epsilon >0 \) und \( \delta >0 \) für ein \( x_0\in \mathbb{R} \) und
für ein \( \delta :=1/2 \epsilon \) ist dann, falls \( |x-x_0|<\delta\) :

\( ||x|-|x_0|| \leq |x-x_0| < 1/2  \epsilon < \epsilon\)

damit ist \( f(x)\) an der Stelle \( x_0\) stetig und damit auf ganz \( \mathbb{R}\) stetig.
Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig. Daher ist auch die Verknüpfung der Betragsfunktion und der Exponentialfunktion stetig.
🙃



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5320, aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

schon: aber es ging dir ja um das Integral. Ist dir jetzt klar, warum man das hier nicht "am Stück" ausrechnen kann?

Insbesondere ist dein Resultat \(\int_{-\infty}^{\infty}{\on{e}^{-|x|}\on{dx}}=2\) nämlich korrekt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tepsi Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 11.12.2019, Mitteilungen: 10, aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

Hallo Diophant,
naja so ganz ist mir noch nicht klar, wieso man die Betragsfunktion stückweise definiert.
Man könnte ja auch mit \(|x|:=\sqrt{x^2}\) definieren und nicht mit der üblichen Fallunterscheidung (\(x>0\) oder \(x\leq 0\) ) , dann wäre die Funktion nicht stückweise definiert und wir hätten wieder das Ausgangsproblem, oder mache ich da etwas falsch ?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5320, aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das Problem ist deine "Stammfunktion". Das ist nämlich keine, da sie an der Stelle \(x=0\) nicht stetig ist.

(Das wurde in Beitrag #1 ja auch schon klar formuliert.)

Ergo hat man im Prinzip zwei Stammfunktionen. Eine für die negative und eine für die positive x-Achse. Somit rechnet man das Integral üblicherweise abschnittsweise aus.

Mit etwas Überlegung kann man allerdings auch eine Stammfunktion finden. Siehe dazu den folgenden Beitrag.

Offensichtlich hast du hier ja eher eine integrationstheoretische Frage. Die wird aber noch nicht so ganz klar. Falls ich mit meiner Vermutung richtig liege: versuche mal, dein Anliegen zu präzisieren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 24.10.2018, Mitteilungen: 1687
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-30 15:14 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Ist dir jetzt klar, warum man das hier nicht "am Stück" ausrechnen kann?

Man kann das Integral auch "am Stück" ausrechnen, solange man bei der Berechnung der Stammfunktion keinen Fehler macht:$$ \int\exp(-|x|)\;\mathrm dx =
\bigl[1-\exp(-|x|)\bigr]\,\operatorname{sign}(x)
$$Für $x\ne0$ gilt dabei $\operatorname{sign}(x)=x/|x|$.

--zippy

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5320, aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zippy,

das ist natürlich tricky bzw. elegant!

Aber ich hätte einen Einwand: dem Themenstarter geht es ja offensichtlich schon darum, mittels Durchexerzieren der bekannten Regeln und der "normalen" Vorgehensweise (also: Stammfunktion ausrechnen und dann die Grenzen einsetzen) vorzugehen. Und darauf bezog sich meine Anmerkung, dass es nicht "am Stück" ginge.

Denn für das Auffinden der obigen Stammfunktion benötigt man ja die Kenntnis des Integrals \(\int_0^{\infty}\on{e}^{-x}\on{dx}=1\). Man intregriert also streng genommen zunächst, um dann eine Stammfunktion zu ermitteln, mit der man dann "am Stück" integrieren kann.

Das soll aber natürlich der Cleverness hinter der oben angegebenen Funktion keinen Abbruch tun. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 24.10.2018, Mitteilungen: 1687
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-30 16:32 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:
Denn für das Auffinden der obigen Stammfunktion benötigt man ja die Kenntnis des Integrals \(\int_0^{\infty}\on{e}^{-x}\on{dx}=1\).

Nein, warum sollte man das für die Berechnung der Stammfunktion kennen müssen?
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5320, aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-30 16:57 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
2020-10-30 16:32 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:
Denn für das Auffinden der obigen Stammfunktion benötigt man ja die Kenntnis des Integrals \(\int_0^{\infty}\on{e}^{-x}\on{dx}=1\).
Nein, warum sollte man das für die Berechnung der Stammfunktion kennen müssen?

Ich hätte die 1 jetzt als Integrationskonstante interpretiert. Die man dann mit dieser Kenntnis natürlich sofort hat.

Könntest du das mal noch zeigen, wie du da ganz ohne bestimmte Integration draufkommst (das würde mich interessieren)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 24.10.2018, Mitteilungen: 1687
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Durch Differenzieren sieht man$$ {\mathrm d\over\mathrm dx} \Bigl[
-\exp(-|x|)\,\operatorname{sign}(x)\Bigr] = \exp(-|x|)
$$für $x\ne0$. Die Funktion in den eckigen Klammern ist allerdings bei $x=0$ nicht stetig. Um eine Stammfunktion zu erhalten, muss man noch einen Summanden addieren, der diese Unstetigkeit beseitigt und dessen Ableitung für $x\ne0$ verschwindet. Letzteres führt auf den Ansatz$$ \int\exp(-|x|)\;\mathrm dx =
-\exp(-|x|)\,\operatorname{sign}(x) + A\,\operatorname{sign}(x) +C
$$und ersteres liefert dann $A=1$. $C$ bleibt als Integrationskonstante übrig.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5320, aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Ah, jetzt hat es klick gemacht. Damit "verschiebt" man praktisch den linken Teil von \(-\on{sign}(x)\cdot \exp(-|x|)\) um 1 nach unten und den rechten Teil um 1 nach oben und "verklebt" so beide Teile bei \(x=0\). Mal ganz naiv-anschaulich gesprochen. Raffiniert.

Danke dir!


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tepsi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
tepsi wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]