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Universität/Hochschule Inverse Hessematrix Stetigkeit
mathematikerlein Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Themenstart: 2020-10-30

Hallo !

Gegeben: $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 2 mal stetig diffbar und $(\nabla ^2 f(x_1))^{-1}$ positiv definit für ein $x_1 \in \mathbb{R}^n$.

Lässt sich hiermit irgendwie die Stetigkeit von $(\nabla ^2 f)^{-1}$ (zumindest auf einer Umgebung um $x_1$) begründen ? Dachte evtl. an Satz von der offenen Abbildung bzw. die Folgerung daraus, dass der inverse Operator eines linearen, stetigen, bijektiven Operators zwischen 2 Banachräumen dann auch wieder stetig ist. Wir haben in der VO einen Existenzsatz der inversen Hesse Matrix auf einer Umgebung um $x_1$ - allerdings ist diese Menge leider offen und nicht abgeschloßen(abg. TM eines Banachraums wär ja selbst wieder einer), ansonsten müsste es damit funktionieren oder ?

Liebe Grüße

Edit: ich sehe grade, dass der Beweis auch mit abgeschloßener Teilmenge funktionieren würde (meine den Satz, dass die inverse Hesse Matrix auf einer Umgebung um $x_1$ existiert). Damit sollte es doch funktionieren oder nicht ? Denn wenn die inverse Matrix ex. , wäre ja die Hesse Matrix bijektiv auf einer Umgebung.



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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30

Hi!

2020-10-30 18:05 - mathematikerlein im Themenstart schreibt:
Lässt sich hiermit irgendwie die Stetigkeit von $(\nabla ^2 f)^{-1}$ (zumindest auf einer Umgebung um $x_1$) begründen ?
Ja, siehe weiter unten. Zuerst möchte ich aber auf deine weitere Äußerungen eingehen.

2020-10-30 18:05 - mathematikerlein im Themenstart schreibt:
 Dachte evtl. an Satz von der offenen Abbildung bzw. die Folgerung daraus, dass der inverse Operator eines linearen, stetigen, bijektiven Operators zwischen 2 Banachräumen dann auch wieder stetig ist.
Aufpassen! Beim Satz von der offenen Abbildung geht es darum, unter welchen Umständen die Inverse einer linearen, beschränkten (d.h. stetigen) Abbildung selbst wieder beschränkt ist (Linearität der Inversen weiß man schon aus LinAlg). Im endlichdimensionalen Fall wie bei dir ist aber jede lineare Abbildung stetig, weshalb auch wieder die Inverse stetig ist. Was dich interessiert ist nicht die Stetigkeit der linearen Abbildung an sich, sondern die Stetigkeit in einem Parameter, d.h. ist
$$ t \mapsto (A(t))^{-1}
$$ stetig, wenn $t \mapsto A(t)$ stetig ist?

2020-10-30 18:05 - mathematikerlein im Themenstart schreibt:
allerdings ist diese Menge leider offen und nicht abgeschloßen(abg. TM eines Banachraums wär ja selbst wieder einer), ansonsten müsste es damit funktionieren oder ?
Achtung! Banachräume sind insbesondere Vektorräume, d.h. die Schlussfolgerung gilt nur, wenn die abgeschlossene Teilmenge auch ein Untervektorraum ist.

Nun nur eigentlichen Frage:
* Überlege dir zunächst, dass eine Umgebung $U$ von $x_1$ existiert, für die für alle $y \in U$ $D^2 f (y)$ invertierbar ist (sogar positiv definit, aber das brauchen wir hier nicht)
Tipp: Die Determinantenfunktion ist eine stetige Abbildung
$$ \text{det} : \IR^{n \times n} \to \IR.
$$ * Wie hängen die Einträge der Inversen von der Matrix ab? Kannst du daraus  ableiten, dass die Abbildung
$$ A \mapsto A^{-1}
$$ stetig ist?
Deine Behauptung folgt dann mittels Komposition der beteiligten Abbildungen.

Viele Grüße
Torsten



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mathematikerlein Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

Hallo,

danke dir für deine Antwort ! Ich bin doch auch ein Depp - dass man das mit Komposition stetiger Abbildungen machen kann, ist ja so offensichtlich 🙄 Wie gesagt - wir hatten eh einen Satz dazu, dass die Hesse Matrix auf einer Umgebung invertierbar ist. Und dass die Abbildung $A \mapsto A^{-1}$ stetig ist, ist mir ja auch bekannt.

Danke für deine Hilfe, jetzt ist es klar 😃
Schönen Abend noch



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