Die Mathe-Redaktion - Neues auf einen Blick 30.11.2020 09:04 - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen		Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen
Math_user
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 493
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-30


Guten Abend zusammen

Ich befasse mich gerade mit folgendem Satz: Es seien $Y$ und $Z$ metrische Räume, und $Z$ sei vollständig. Ferner sei $X$ eine dichte Teilmenge von $Y$, und $f : X \to Z$ sei gleichmäßig stetig. Dann besitzt $f$ eine eindeutig bestimmte stetige Erweiterung $F : Y → Z$. Sie wird durch
$$F(y) = \lim_{x \to y,\, x\in X}\; f(x) ,\;\; y \in Y$$ gegeben und ist gleichmäßig stetig.

Nun verstehe ich nicht wie man genau $F$ definiert. Im Beweis steht: Ist $x \in X$, setzen wir $x_j := x$ für $j \in \Bbb N$ und finden $F(x) = \lim_{\,j}\; f(x_j) = f(x)$.
Also stellt $F$ eine Erweiterung von $f$ dar.

Ich verstehe diese Definition nicht, sei $x \in X$ so definieren wir $x_j:=x$ aber dies ist ja keine Folge oder? Wieso können wir da denn Limes nehmen? And was ist mit $x \in Y \setminus X$?

Vielen Dank für eure Hilfe und bleibt gesund
Math_user


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4964
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30


Was genau verstehst du an der Definition nicht? Hast du mit der Schreibweise dort Probleme? Hast du die Definition eines Limes nachgeschlagen? Und natürlich sind konstante Folgen Beispiele von Folgen. Dass $F$ eine Erweiterung von $f$ ist, heißt $F(x)=f(x)$ für $x \in X$. Daher betrachtet man zum Nachweis $x \in X$ und nicht $x \notin X$. Wie $F$ auf ganz $Y$ definiert ist, steht dort.

Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Math_user
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 493
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31


Tut mir leid, ich sah gestern vor lauter Mathematik die einfachsten Sachen nicht mehr. Vielen Dank für deine Ausführung und ein gutes Wochenende.

Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Math_user hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Math_user hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]