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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » endlich dimensionale Vektorräume - Dimension
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Universität/Hochschule endlich dimensionale Vektorräume - Dimension
lacoska
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-01


Beweisen von folgenden Aussagen:

a) Falls es einen Homomorphismus f: V->W gibt, der injektiv, aber nicht surjektiv ist, so muss gelten dim(V) > dim(W).

b) Falls es keinen injektiven Homomorphismus f:V->W gibt, so muss gelten dim(V) > dim(W).


Meine gesammelten Definitionen:
f ist surjektiv genau dann wenn im(f)= W
f ist injektiv genau dann wenn ker(f)={0}

Also bei a) wäre dann im(f) ungleich W aber der ker(f)={0}

Ich komme leider nicht weiter... bitte um Hilfe




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-01


Du hast dich vertippt, bei a) muss es $\dim(V) < \dim(W)$ heißen.

a) Zeige stattdessen die folgende (äquivalente) Aussage (bzw. führe sie auf etwas zurück, was ihr in der Vorlesung sicherlich bereits behandelt habt):

Ist $f : V \to W$ injektiv und $\dim(V) \geq \dim(W)$, so ist $f$ surjektiv.

(b) Zeige stattdessen die folgende (äquivalente) Aussage: Ist $\dim(V) \leq \dim(W)$, so gibt es eine injektive lineare Abbildung $V \to W$. Das kannst du zum Beispiel daran erkennen, dass es für $n < m$ immer eine injektive lineare Abbildung $K^n \to K^m$ gibt (welche?).



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