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Strukturen und Algebra » Ringe » Polynomring und Einsetzungshomomorphismus
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Universität/Hochschule J Polynomring und Einsetzungshomomorphismus
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-06

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Guten Tag.

Ich bearbeite derzeitig Aufgaben zu meiner "Einführung in die Algebra" Vorlesung und muss leider feststellen, dass mich immernoch eine Unsicherheit beim Bearbeiten der Aufgaben begleitet. Kann mir jemand sagen, ob meine Lösung richtig ist? Dies ist die Aufgabe:



Ich denke, dass ich die Begriffe "Ring", "Ringhomomorphismus", "Polynomring" so langsam verstanden habe. Man soll also die Injektivität von dieser Abbildung (nennen wir sie mal \(\Lambda\)) zeigen. Dazu seien jetzt \( \varphi_1, \varphi_2\) Ringhomomorphismen von \( R[T]\) nach \(S\). Sei nun \( \Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_2)\), nun soll man zeigen, dass \( \varphi_1 = \varphi_2\) gilt. Aus \( \Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_2)\) folgt nach Definition von \(\Lambda \): \( (\varphi_1 |_R, \varphi_1(T)) = (\varphi_2|_R, \varphi_2(T))\), somit gilt auch \(\varphi_1 |_R = \varphi_2 |_R \) sowie \( \varphi_1(T) = \varphi_2(T) \).

Mit anderen Worten heißt das: Wenn man ein Polynom \( f \in R[T]\) der Form \( f = r_0 + r_1 T\) hat, dann ist \( \varphi_1(f) = \varphi_2(f) \). Nun ist die Frage, ob die Gleichheit auch für \(f\) höheren Grades gilt. Man sieht aber, dass \( \varphi_1(T^i) = (\varphi_1(T))^i = (\varphi_2(T))^i =  \varphi_2(T^i) \) gilt. Folglich:

\( \varphi_1(f) = \varphi_1 \left(\sum_{i=0}^n r_i T^i\right) = \sum_{i=0}^n \varphi_1(r_i T^i) = \sum_{i=0}^n \varphi_1(r_i) \varphi_1(T^i) =  \sum_{i=0}^n \varphi_2(r_i) \varphi_2(T^i) = \varphi_2 \left(\sum_{i=0}^n r_i T^i\right) = \varphi_2(f)\)

Das gilt für alle \( f \in R[T]\), somit sind diese beiden Abbildungen gleich, aus \( \Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_2)\) folgt dann also \( \varphi_1 = \varphi_2\).

Ist der Beweis so korrekt? Ich bin mir echt unsicher...
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Triceratops
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Alles richtig.

Ich würde nur das Beispiel $f = r_0 + r_1 T$ weglassen. Betrachte gleich den allgemeinen Fall. (Vielleicht meintest du den auch, hast dich aber nur vertippt und die $+ \cdots + r_n T^n$ vergessen?)

Übrigens ist $\Lambda$ bijektiv, wenn $S$ kommutativ ist. Man kann das kurz schreiben als $\hom(R[T],S) \cong \hom(R,S) \times |S|$. Es ist die universelle Eigenschaft des Polynomringes. Wenn $S$ nicht kommutativ ist (und $R$ muss es auch nicht sein), ist das Bild von $\Lambda$ die Menge der $ (\psi,s) \in \hom(R,S) \times |S|$, für die $\psi(r)$ jeweils mit $s$ kommutiert. Siehe hier für den gesamten Hintergrund.



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