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Schule Diagnose *
JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-09


Hallo,

hier ist ....


viel Spaß, und viele Grüße

JoeM



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-09


Nachdem mir mein Hausarzt mitgeteilt hat, ich sei "positiv" getestet, können bloß noch zwei Fälle vorliegen...

1) Ich bin infiziert, und die Test-Diagnose stimmt.
2) Ich bin NICHT infiziert, und die Test-Diagnose ist falsch.

Wirklich infiziert und krank bin ich lediglich im ersten Fall!
\(w(k)\: =\: r\,\cdot\,(1-d)\: =\:\frac{1}{10.000}\,\cdot\,\frac{199}{200}\: =\:\frac{199}{2.000.000}\: =\:0,0000995\: =\:0,00995\,\%\)



-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09


Hallo,

ich hab eine andere Diagnose.

mfG. JoeM



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-09


Na klasse 🙄

Jetzt sind wir schon so weit, dass man nicht bloß in Bayern anders rechnet als im übrigen Deutschland, sondern gar in der Oberpfalz anders als in Mittelfranken... Geht's "Schlaflos in Schwandorf" (wegen des "S"!) auch konkreter? 😉


-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-09


JoeM.

Anbei, infiziert heisst nicht krank. Ein Träger kann eine stille Feiung haben.

de.wikipedia.org/wiki/Stille_Feiung

positiv getestet (krank) stimmt eben nicht.


-----------------
zum Primzahl k-Tupel Thread
PDFs on "Mathematik alpha"
Hinweis: MP-Notizbuch



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-09


Ich komme ja auf...

Von 10 000 Leuten sind 1 infiziert und 9 999 gesund.
Der Test findet aber nur 0,995 * 1 = 0,995 Infizierte
Unter den gesunden findet er aber 0,005 * 9999 = 49,995 "Infizierte"
Positiv wäre der Test also bei 50,99 Leuten aber nur 0,995 sind infiziert.
Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit: 0,995 / 50,99 * 100% = 1.95 %

Zu etwa 1,95 % ist man dann auch tatsächlich krank. Daher macht man dann auch meist einen zweiten Test.

Unter den 9949,01 negativ getesteten sind btw. noch 0,005 infizierte, also: ~0,00005 % sind etwa noch krank (oder ca. 1 von 2 000 000 negativen Tests =o).




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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09


Hallo,

ich komme auf die gleiche W-keit, wie MartinN.

viele Grüße

JoeM



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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-10


Hallo Cramilu,

ich befürchte, in Bierfranken rechnet man anders, als im übrigen Deutschland. 🙂

viele Grüße

JoeM



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-10


Guten Abend an alle Nicht-Bierfranken 😉

JoeM, Deine Knobelei ist wieder sehr anregend!

JoeM und MartinN, Euer Ergebnis ist nicht zu verachten!

Mich plagen hier - mal wieder - "übliche Kröten"...

1. Wie entscheidend ist die Semantik der Fragestellung?
2. Wie kann es bei meinem Ergebnis sein, dass die Infektionswahrscheinlichkeit dadurch sinkt[!], dass man sich hat testen lassen?
3. Welches sind für welchen Betrachtungsfall die unzweifelhaften Komplementär- bzw. Gegenereignisse, so dass sich bei ordentlicher Gegenrechnung korrekte Wahrscheinlichkeitssummen ergeben?

Insgesamt stehe ich verständnistechnisch gerade gefühlt auf gleich mehreren Schläuchen, die ich bislang noch nicht zufriedenstellend entwirrt bekomme...

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w1(k), dass Du Dich infiziert hast?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w2(k), dass Du als "positiv" getesteter Proband tatsächlich zu den Infizierten gehörst?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w3(k), dass Du Dich infiziert hast und auch zudem "positiv" getestet wurdest?

Wie genau[!] unterscheiden sich w1(k), w2(k) und w3(k)?
Welches sind die jeweiligen Komplementärereignisse?

Ich stelle die Frage analog zur ursprünglichen mal so:
Dein Hausarzt testet Dich "positiv" (krank). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p(g), dass Du Dich NICHT infiziert hast?

Begründe ich eine Antwort wie MartinN, dann müsste sie lauten [???]:
Von 10.000 Leuten sind 9.999 gesund und 1 infiziert.
Der Test findet aber nur 0,995 * 9.999 = 9.949,005 Gesunde.
Unter den Infizierten findet er aber 0,005 * 1 = 0,005 "Gesunde".
Negativ wäre der Test also bei 9.949,01 Leuten,
aber nur 9.949,005 sind gesund.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit für "nicht infiziert":
9.949,005 / 9,949,01 * 100% = 99,99994974... %

Das überzeugt mich noch nicht!
Ich "sehe" indes auch noch nicht, wo insgesamt der "Haken" hängt...

p.s.
Ich sage mitnichten, dass ich die "1,95 Prozent" für falsch halte! Aber in diesem Aufgabenfall habe ich gerade eine Denkblockade wie seit langem nicht.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-10


🙄 Au, Mann... 🙄

Nach Fällen wesentlicher Bäume sehe ich endlich den Wald.
Der Fehler lag bei mir!
Wieder einmal mein persönlicher Klassiker -
wie beim "Geschwister-Problem" ;
die Betrachtung ausschließbarer Referenzgruppen ist der Knackpunkt...

Insgesamt gibt es folgende Referenzgruppen:

"A" ; Nicht infiziert UND "negativ" getestet.
p("A") = 9.999/10.000 * 199/200 = 1.989.801 / 2.000.000 = 99,49005 %

"B" ; Nicht infiziert UND "positiv" getestet.
p("B") = 9.999/10.000 * 1/200 = 9.999 / 2.000.000 = 0,49995 %

"C" ; Infiziert UND "positiv" getestet.
p("C") = 1/10.000 * 199/200 = 199 / 2.000.000 = 0,00995 %

"D" ; Infiziert UND "negativ" getestet.
p("D") = 1/10.000 * 1/200 = 1 / 2.000.000 = 0,00005 %

>>> p("A") + p("B") + p("C") + p("D") = 100,000 % = 1

Nach dem "positiven" Test kann die Zugehörigkeit zu "A" ODER "D" ausgeschlossen werden. Die verbleibende "Referenzbasis" beträgt also nur noch p("B") + p("C"). Dabei[!] infiziert ist man bloß als Angehöriger der Gruppe "C":
p("C") / (p"B") + p("C")) = 199 / 10.198 = 0,01951363... = 1,951363... %

JoeM und MartinN, Ihr habt Recht,
und ich, der "Bierfranken-Beuteschwabe" war "blind" 😉

p.s.
Obwohl es mir seit Jahren erfolgreich gelingt, nach jeder Land- oder Bundestagswahl die Parlamentssitze in ähnlicher Weise korrekt zu ermitteln (Stimmenanteile der Parteien nicht auf Basis 100% gewichten, sondern zuvor alle abziehen, die an der Fünf-Prozent-Hürde scheitern!), und obwohl ich meine persönliche Ansatz-Schwäche bezüglich des "Geschwister-Problems" inzwischen kennen sollte, passiert mir gerade so etwas immer wieder. Unfassbar...



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Hans-Juergen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-10


Rechnen in Bayern und anderswo (#3)

Irren kann sich hierbei jeder,
kommt aber Hochmut mit dazu,
gerät man leicht unter die Räder-
Bescheidenheit bleibt stets der Clou!


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]




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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11


Hallo,

die Lösung sieht man leicht anhand eines Baumdiagramms ...


viele Grüße

JoeM



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-11


wenn du alle ein 2. mal testen lässt,

dann gäbe es 2 x (0.0049 + 49.7450) = 99.5 menschen die zwei verschiedene ergebnisse hätten, halt nur in unterschiedlichen reihenfolgen

fühlt sich derjenige der dann pos-neg getestet wurde gleich wie derjenige der neg-pos getestet wird? oder würde man dann dem 2. test mehr gewicht zufühlen?

haribo



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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12


Hallo Haribo,

Die Gewichte sind gleich.

Gefühl und Wahrscheinlichkeit sind zwei Paar Stiefel. 🙂

mfG. JoeM



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-12


ok, dann verunsichert zumindest der zweite test bei deiner angenommenen sachlage, also insbesondere der anteil 0,005 fehlerdiagnosen, zusätzlich ~50 probanden

erst nach dem dritten (oder vierten?) test dürfte es dann besser werden
da dann nur noch wenige mehr als einen pos. test haben

wie gross ist der warscheinliche anteil der 2xpos. getesteten nach drei tests?



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-12


N'Aaaam'd haribo ;)

Nach eigengeistigen "Holzfällerarbeiten" (siehe meine vorherigen Beiträge)
wähne ich mich inzwischen wieder auf einer "Lichtung der Erkenntnis"...
... d'rum...

Nehmen wir an, eine möglicherweise infizierte Person mit p("I") = 1/10.000 wäre so d'rauf, dass sie sich am gleichen Vormittag nacheinander, also etwa um 8:30 Uhr, 10:00 Uhr und 11:30 Uhr, in drei verschiedenen Arztpraxen ihres Vertrauens testen ließe. Und zwar mit dem jeweils gleichartigen Test unter gleichartigen Testbedingungen. Legen wir sowohl für "infiziert und Test positiv" wie für "nicht infiziert und Test negativ" die vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten für das Testresultat zu Grunde und betrachten die Tests als voneinander unabhängig...

Es soll bedeuten:
"I" infiziert
"A" abwehrkräftig = nicht infiziert
"P" positiv getestet
"N" negativ getestet

\(0,995\: =\:\frac{199}{200}\)
\(0,005\: =\:\frac{1}{200}\)

Dann ergeben sich nach drei Tests folgende 16[!] Einzelwahrscheinlichkeiten:

\(p("ANNN")\: =\:\frac{9.999}{10.000}\, ×\,\frac{1}{200}\, ×\,\frac{1}{200}\, ×\,\frac{1}{200}\: =\:\frac{9.999}{80.000.000.000}\: =\: ...\)
\(...\: =\:0,9849763675125\: =\:98,49763675125\,\%\)
\(p("ANNP")\: =\:\frac{9.999\, ×\,199\, ×\,199\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0049496299875\)
\(p("ANPN")\: =\:\frac{9.999\, ×\,199\, ×\,1\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0049496299875\)
\(p("APNN")\: =\:\frac{9.999\, ×\,1\, ×\,199\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0049496299875\)
\(p("ANPP")\: =\:\frac{9.999\, ×\,199\, ×\,1\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000248725125\)
\(p("APNP")\: =\:\frac{9.999\, ×\,1\, ×\,199\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000248725125\)
\(p("APPN")\: =\:\frac{9.999\, ×\,1\, ×\,1\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0000248725125\)
\(p("APPP")\: =\:\frac{9.999\, ×\,1\, ×\,1\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000001249875\)
\(p("IPPP")\: =\:\frac{1\, ×\,199\, ×\,199\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0000985074875\)
\(p("INPP")\: =\:\frac{1\, ×\,1\, ×\,199\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0000004950125\)
\(p("IPNP")\: =\:\frac{1\, ×\,199\, ×\,1\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0000004950125\)
\(p("IPPN")\: =\:\frac{1\, ×\,199\, ×\,199\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000004950125\)
\(p("IPNN")\: =\:\frac{1\, ×\,199\, ×\,1\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000000024875\)
\(p("INPN")\: =\:\frac{1\, ×\,1\, ×\,199\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000000024875\)
\(p("INNP")\: =\:\frac{1\, ×\,1\, ×\,1\, ×\,199}{80.000.000.000}\: =\:0,0000000024875\)
\(p("INNN")\: =\:\frac{1\, ×\,1\, ×\,1\, ×\,1}{80.000.000.000}\: =\:0,0000000000125\)

[Die Summe ergibt 1 (=100%) - uff! 🙄]

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass von drei Tests
genau[!] zwei "positiv" ausfallen, ist demnach:

\(p("genau[!]\, zwei\, von\, drei\, Tests\, positiv")\: =\: ...\)
\(...\: =\: p("ANPP")\: +\: p("APNP")\: +\: p("APPN")\: +\: ...\)
\(...\: +\: p("IPPN")\: +\: p("IPNP")\: +\: p("INPP")\: =\: ...\)
\(...\: =\: 3\, ×\, (\, p("ANPP")\: +\: p("IPPN")\, )\: =\: ...\)
\(...\: =\:0,000076102575\: =\:0,0076102575\,\%\)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass von drei Tests
mindestens[!] zwei "positiv" ausfallen, ist demnach:

\(p("mindestens[!]\, zwei\, von\, drei\, Tests\, positiv")\: =\: ...\)
\(...\: =\: p("genau[!]\, zwei\, von\, drei\, Tests\, positiv")\: +\: ...\)
\(...\: +\: p("APPP")\: +\: p("IPPP")\: =\: ...\)
\(...\: =\:0,00017473505\: =\:0,017473505\,\%\)

Jetzt machen wir eine "Korrespondenzprobe":
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man infiziert ist,
wenn der erste Test "positiv" ausgefallen war?
Herauskommen sollte das gleiche, wie bei der Anfangsaufgabe...

\(p("IPxx\vert xPxx")\: =\:\frac{p("IPxx")}{p("APxx")\: +\: p("IPxx")}\: =\: ...\: =\:0,019513601235536\)
😎 Passt! 😎

Die Wahrscheinlichkeit, dass man infiziert ist, wenn mindestens[!]
zwei von drei Tests "positiv" ausgefallen waren, ist dann:

\(p("I23P\vert x23P")\: =\:\frac{p("IPPP")\: +\:3\, ×\, p("IPNN")}{p("mindestens[!]\, zwei\, von\, drei\, Tests\, positiv")}\: =\: ...\) \(...\: =\:0,572252247044883\: =\:57,2252247044883\,\%\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass man infiziert ist,
wenn alle[!] drei Tests "positiv" ausgefallen waren, lautet:

\(p("IPPP\vert xPPP")\: =\:\frac{p("IPPP")}{p("APPP")\: +\: p("IPPP")}\: =\: ...\)
\(...\: =\:0,998732795663903\: =\:99,8732795663903\,\%\)

Und... kaum zu glauben...
Die Wahrscheinlichkeit, dass man infiziert ist, wenn genau[!]
zwei von drei Tests "positiv" ausgefallen waren, ist tatsächlich:

\(p("I2P\vert x2P")\: =\:\frac{3\: ×\: p("INPP")}{p("genau[!]\, zwei\, von\, drei\, Tests\, positiv"}\: =\: ...\)
\(...\: =\:0,019513601235536\: =\:1,9513601235536\,\%\)

Ob man also bei bloß einer einzigen Testteilnahme "positiv" war, oder bei genau[!] zwei von dreien, erbringt die gleiche Infektionswahrscheinlichkeit...

Da stelle ich doch vier Fragen:
1. Habe ich mich verrechnet?
2. haribo, hattest Du das bereits herausgefunden?
3. JoeM, hattest Du die Angaben absichtlich so gewählt?
4. Ist das bloß ein bemerkenswerter "Zufall"?



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JoeM
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Hallo Cramilu,

Zu Deinem Ergebnis ...

> Ob man also bei bloß einer einzigen Testteilnahme "positiv" war, oder bei genau[!] zwei von dreien, erbringt die gleiche Infektionswahrscheinlichkeit < ...

Das ist kein Zufall. Das ist stets so.

In beiden Fällen gilt: p(infiziert) = p(INPP) / ( p(ANPP) + p(IPPN) ).

viele Grüße

JoeM




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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-14


Hallo JoeM,

Dass zwischen den beiden besagten Wahrscheinlichkeiten unbedingt ein Zusammenhang besteht, ist mir nach ausgiebigen "Spielereien" auch schon gedämmert.

Allerdings habe ich den Gleichheitsbeweis mit meinen Summen-Quotienten-Formeln noch nicht hingekriegt. Deine Gleichung zeigt ja zunächst bloß einen weiteren Fall wiederum gleicher Wahrscheinlichkeit. Dass die alle untereinander stets parameterunabhängig gleich sind, ist für mich noch nicht genau nachvollziehbar gezeigt! Indes vertraue ich schon darauf, dass Du das ausführlicher hergeleitet hast; lass' mich ruhig noch ein wenig "herumformeln" - mach' ich "aus dem Stand" ja auch nicht alle Tage ;)

Gruß,
Uli



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haribo
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Nein cramilu, mir war das nicht klar.

Und ist immer noch unklar wie viele getesteten nach 3 Tests in dieser wahrscheinlich keit sich befinden , bzw ob sich die gleichen darin befinden

Unklar, weil es ja auch jemand geben mag der  im 2. und 3. Test positiv  identifiziert wurde aber im 1. negativ....

muss es mir wohl selber herleiten oder deine Rechnung länger betrachten
Evtl reichst wenn ich in deinen Prozenten das Komma um vier stellen verschiebe und dann  nach wenigen nachkommastellen  runde
Dann muss ich nicht über unwarscheinlichkeits Anteile von Menschen nachdenken die weniger als ein kleiner Finger betragen...
Haribo



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JoeM
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Hallo Cramilu,

In beiden Fällen gilt: p(infiziert) = p(INPP) / ( p(ANPP) + p(IPPN) ).

Ich gehe davon aus, dass Deine Formeln richtig sind.
Dann gilt allgemein für ( r = Rate ; d = W- keit für falsche Diagnose ) :


Das Ergebnis ist das gleiche, wie das der ursprüngliche Aufgabe ( siehe Beitrag 11 ).

viele Grüße

JoeM








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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-11-15


Man sollte die Lösung vielleicht mal systematischer angehen ;) - mit verständlichen Abkürzungen xD

Es gibt kranke Leute K und gesunde Leute G, für deren Anteile in der Bevölkerung gilt:
\(A(K) + A(G) = 1\)

Nun gibt es einen Test, der als Ergebnis jemanden als "krank" (k) oder als "gesund" (g) klassifizieren kann... nur kann dieses Ergebnis auch falsch (f) oder richtig (r) sein, mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten:
\(p(k,r) + p(k,f) = 1\\
p(g,r) + p(g,f) = 1\)


Jetzt kann man sich überlegen, welchen Anteil der Bevölkerung es gibt, der theoretisch a-fach k und b-fach g bekommt und dabei krank (K) ist:
\(A_K(k^a g^b) = A(K) \cdot \binom{a+b}{a} \cdot p^a(k,r) \cdot p^b(k,f)\)
Zuerst betrachten wir nur die tatsächlich kranken Personen, der folgende Binomialkoeffizient stellt die Anzahl der Möglichkeiten dar diese (a+b)-Testresultate zu erhalten, dann wurde a-mal das richtige und b-mal das falsche Testresultat erhalten.

Dieselbe Rechnung für eine gesunde Person:
\(A_G(k^a g^b) = A(G) \cdot \binom{a+b}{a} \cdot p^a(g,f) \cdot p^b(g,r)\)


Nun kann man die Wahrscheinlichkeit \(p_K\) tatsächlich krank zu sein mit diesen Testergebnis angeben zu:
\(p_K(k^a g^b) = \frac{A_K(k^a g^b)}{A_K(k^a g^b)+A_G(k^a g^b)}\\
= \frac{1}{1+\frac{A_G(k^a g^b)}{A_K(k^a g^b)}}\\
= \frac{1}{1+\frac{A_G}{A_K} \cdot \frac{p^a(g,f)}{p^b(k,f)} \cdot \frac{p^b(g,r)}{p^a(k,r)} }\)



Ist nun -wie hier in der Aufgabe- die Wahrscheinlichkeit für ein falsches Testergebnis immer gleich, also:
\(p(k,f) = p(g,f) = f\\
\to p(k,r) = p(g,r) = 1-f\)
So vereinfacht sich dies zu:
\(p_K(k^a g^b) = \frac{1}{1+\frac{A_G}{A_K} \cdot \left( \frac{f}{1-f} \right)^{a-b} }\)

Man erkennt also, in diesem speziellen Fall für dieselbe Wahrscheinlichkeit eines falschen Testergebnisses, dass dann die Wahrscheinlichkeit tatsächlich krank zu sein nur von der Differenz (a-b) abhängt, also wie oft man mehr kranke Testergebnisse (a) als gesunde Testergebnisse (b) erhalten hat. [Begründung: der Anteil an Kranken K und Gesunden G in der Bevölkerung wird ja als konstant angenommen und die Fehlerwahrscheinlichkeit f ebenso]

Entsprechend ist jemand mit 32 positiven (kranken) Testergebnissen und 12 negativen (gesunden) Testergebnissen genauso krank wie jemand der nur 20 positive hat, oder jemand der gar 132 positive dafür 112 negative hat. Oder auf die Aufgabe bezogen 2 positive und 1 negatives Testergebnis ist dasselbe wie nur 1 positives (krankes) Ergebnis.



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MartinN
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Der letzte Teil gilt dabei nur wenn \(p(k,f) = p(g,f)\) - was normalerweise nicht der Falle ist.

Wenn \(p(k,f) < p(g,f)\) ist, so kann man etwa einem positiven ("krank") Testergebnis mehr trauen als einem negativen ("gesund") - entsprechend wäre man mit 32 positiven zu 12 negativen wahrscheinlicher krank als nur mit 20 positiven, da man den positiven mehr trauen kann.
Und dann auch mit 2 positiven zu 1 negativen eher krank, als nur mit 1 positiven.
Bei anderem Relationszeichen dreht sich natürlich jede dieser Aussagen um.



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