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Integration » Riemannsche Summen » Integral als Grenzwert einer Summe
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Universität/Hochschule Integral als Grenzwert einer Summe
hallo_kyberraum
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  Themenstart: 2020-11-09

Hallo, ich habe eine Annäherung an die potentielle Energie eines hängenden Seils gegeben. Das Seil ist zwischen zwei gleich hohen Pfosten an den $x$-Werten $a$ und $b$ aufgehängt und hat die Höhe $h(x)$ sowie Dichte $\rho(x)$. Die Annäherung erfolgt aufgrund einer Überlegung mit einem äquidistanten Gitter auf der x-Achse $a=s_0


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MartinN
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-12

Weiß nicht genau, ob man das so zeigen kann, aber dann ist doch für \(n \to \infty\) und wir definieren den Abstand als \(s_{i+1} = s_i + dx\): \(E_{pot}^{n \to \infty} =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} g \frac{h(s_i)+h(s_i + dx)}{2} \frac{\rho(s_i)+\rho(s_i+dx)}{2} (dx) \sqrt{1+(\frac{h(s_i + dx)-h(s_i)}{dx})^2}\) Für \(n \to \infty\) geht damit auch \(dx \to 0\) und alle \(s_i\) stellen dann jeden x-Wert zwischen a und b dar, und man kann schreiben: \(= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} g \cdot h(s_i) \cdot \rho(s_i) \cdot dx \cdot \sqrt{1+ h'(s_i)^2} = \int_a^b g \cdot h(x) \cdot \rho(x) \cdot dx \cdot \sqrt{1+ h'(x)^2}\) Aber kA ob man das so aufschreiben würde.


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hallo_kyberraum
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-21

Hallo, vielen Dank für die Antwort. Ja, so etwas ähnliches hatte ich auch im Kopf, aber ich will es ganz formal zeigen. Hier meine Beweisidee: Wir definieren \[ \tilde{E_{pot}^n}=\sum_{i=0}^{n-1} g h(s_i) \rho(s_i)(s_{i+1}-s_i) \sqrt{1+(h'(s_i))^2} \] Für dieses $\tilde{E_{pot}^n}$ sollte gelten, dass es gegen das Integral konvergiert, wenn wir Stetigkeit von $h$ und $\rho$ annehmen. Es gilt also \[ \lim_{n\to\infty}\tilde{E_{pot}^n}=\int_a^b g h(x) \rho(x) \sqrt{(1+(h'(x))^2} dx \textrm{.} \] Wenn man nun zeigen könnte, dass: \[\frac{h(s_i)+h(s_{i+1})}{2 h(s_i)}=1+o \left(\frac{1}{n}\right) \] \[\frac{\rho(s_i)+\rho(s_{i+1})}{2 \rho(s_i)}=1+o \left(\frac{1}{n}\right) \] \[\frac{(h(s_{i+1})-h(s_{i}))^2}{((s_{i+1}-s_{i}))^2} \frac{1}{(h'(s_i))^2}=1+o\left(\frac{1}{n} \right)\] Dann hätte man \[|E_{pot}^n-\tilde{E_{pot}^n}|=\left\lvert\sum_{i=0}^{n-1} g h(s_i) \rho(s_i)(s_{i+1}-s_i) \sqrt{1+(h'(s_i))^2} - g \frac{h(s_i)+h(s_{i+1})}{2} \frac{\rho(s_i)+\rho(s_{i+1})}{2} (s_{i+1}-s_i) \sqrt{1+\frac{(h(s_{i+1})-h(s_{i}))^2}{((s_{i+1}-s_{i}))^2}}\right\lvert\] \[ =\sum_{i=0}^{n-1} \left(g h(s_i) \rho(s_i) (s_{i+1}-s_i) \sqrt{1+(h'(s_i))^2}\left\lvert1-\left(1+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^3\right\lvert\right)\] \[= n \; o\left(\frac{1}{n}\right) \tilde{E_{pot}^n} =_{n \to \infty} 0 \] Aus der Kombination der beiden Grenzwerte würde \[ \lim_{n\to\infty}E_{pot}^n=\int_a^b g h(x) \rho(x) \sqrt{(1+(h'(x))^2} dx \] folgen. Wenn man Lipschitz-Stetigkeit von $\rho$ und stetige Differenzierbarkeit von h annimmt, kommt man, glaube ich, auf die mittleren drei Abschätzungen mit $\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$, aber das reicht nicht...


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