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Universität/Hochschule J Existenz eines Potentials
Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-11


Hallo Liebe Leute,

ich stehe beifolgender Aufgabe völlig auf dem Schlauch:

Sei \(f(r)\) eine skalare Funktion R\(\rightarrow\)R. Existiert für das Kraftfeld \(\overrightarrow{\rm F}=\overrightarrow{\rm x}\cdot f(r)\) ein Potential? Falls ja, geben Sie das Potential an.

\(\overrightarrow{\rm x}\) soll \(x\cdot\overrightarrow{\rm e_x}+y\cdot\overrightarrow{\rm e_y}+z\cdot\overrightarrow{\rm e_z}\) sein.

\(f(r)\) ist ja ein skalar, kann ich diesen auf diese Weise überhaupt mit
\(\overrightarrow{\rm x}\) multiplizieren?

\(f(r)\) ist ja \(f(r(x,y,z))\), vorrausgesetzt ich kann die Muliplikation so durchführen, würde ich die Rotation von \(\overrightarrow{\rm F}\) bestimmen und prüfen, ob diese verschwindet. Falls das der Fall ist besitzt \(\overrightarrow{\rm F}\) ein Potential. Mein Problem ist jetzt, dass ich die partiellen Ableitungen nicht explizit angeben kann und so die Existenz eines Potentials von der Form von \(f(r)\) abhängt.

Es wäre super wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.

Liebe Grüße
Dreadwar



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-11


Hallo Dreadwar,

Wie lautet die Ableitung von \(\partial_x f(r)\)? Beachte das \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\).



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11


Hallo Rathalos,

danke für die Antwort. Kommt das nicht darauf an wie\(f(r)\)aussieht?
Wenn nicht verstehe ich es einfach nicht.


Liebe Grüße



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-11


Hallo Dreadwar,

Natürlich kommt es darauf an wie f aussieht. Jedoch lässt sich dies doch noch ausschreiben. Momentan hast du eine Verkettung von zwei Funktionen \(f(x), r(x,y,z)\). Das schreit nach Kettenregel.



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11


Hallo Rathalos,

die Ableitung nach x müsste

\(\partial_xf(x)\cdot\partial_xr(x,y,z)\)sein.

Wie hilft mir das weiter?

Liebe Grüße



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-11


Hallo Dreadwar,

f ist eine eindimensionale Funktion. Es würde Sinn machen, dies auch zu kennzeichnen. Also \(\partial_x (f(r(x,y,z))= f'(r(x,y,z)) \cdot \partial_x r = ...\). Berechne dann doch mal noch \(\partial_y (f(r(x,y,z))\) und du solltest sehen, dass die z Komponente der Rotation verschwindet. Ich denke auch, dass \(r = \sqrt(x^2+y^2+z^2)\) wie üblich bezeichnet.



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11


Hallo Rathalos,

ja, \(r = \sqrt(x^2+y^2+z^2)\). Ich glaube ich verstehe was du meinst, wenn ich die Rotation berechne, kann ich \(f'(r(x,y,z))\) ausklammern da skalar und die Ableitungen\(\partial_x r,\partial_y r,\partial_z r\), explizit mit
\(r = \sqrt(x^2+y^2+z^2)\) bestimmen, dann sollte alles wegfallen, da durch \(\overrightarrow{\rm x}\) die "fehlenden" Faktoren in jedem Term geliefert werden. Stimmt das so weit?


Liebe Grüße



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-11


Hallo Dreadwar,

Ja aber lieber immer nochmal durchrechnen :)



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11


Super, ich danke dir!


Liebe Grüße



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11


Hallo Rathalos,

ich mache doch noch was falsch, die Rotation verschwindet komplett. Muss das so sein?


Liebe Grüße



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