Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » Diagnose2*
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Diagnose2*
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1233
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-12


Bezugnehmend auf diesen Thread: Diagnose * wissen wir, selbst wenn jemand als positiv (= "krank") getestet wurde, kann er noch mit recht hoher Wahrscheinlichkeit gesund sein.
Aber in der Regel ist man mit einem positiven Test sicherer erkrankt als ohne einem Test, d.h. der Anteil der Erkrankten ist in der Gruppe der Personen mit positiven Testergebnis größer als der Anteil der erkrankten unter allen Personen.

Wie viele gesunde Personen unter den positiv getesteten sind und in wie weit ein positiver Test damit jemanden tatsächlich als erkrankten klassifiziert, hängt dabei vor allem vom Anteil der Erkrankten in der Bevölkerung ab. Im Beispiel waren 1 von 10 000 erkrankt. Dieser Anteil ist aber meistens unbekannt!


Nun zur Frage: Welcher Anteil der Bevölkerung müsste erkrankt sein, damit der Test keinen Nutzen mehr hat, d.h. der Anteil der Erkrankten in der Gruppe positiv getesteter ist gleich dem Anteil der Erkrankten in der Bevölkerung? Woran erkenne ich eine solche Situation?



Wahlurne Für MartinN bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 683
Herkunft: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-13


Hallo,

wenn die Erkrankung mit einer Rate von r = 1/50 ausgebrochen ist, dann liefert ein positiver Test nur noch mit 50 % eine Erkrankung.

viele Grüße

JoeM  



Wahlurne Für JoeM bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1233
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-13


Okay, du hast ein Szenario gefunden, bei dem man ohne Test zu 2 % erkrankt ist und mit positivem Testergebnis zu 50 %. Dann erhöht ein positives Testergebnis deine Chance erkrankt zu sein ja um das 25-fache =o
Finde schon, dass der Test dann nützlich ist... man findet sehr viel wahrscheinlicher Erkrankte und wenn man oft genug testet, dann kann man immer sicherer erkrankte Personen finden...



Wahlurne Für MartinN bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1233
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-15


Auch wenn das Ergebnis dieser Aufgabe jeden "Querdenker" schockieren wird xD - soll ich schon auflösen, oder wollt ihr noch rätseln ^^



Wahlurne Für MartinN bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 646
Herkunft: Bierfranken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-15


Seien
\(0\:\leq\: r\:\leq\:0\)   die Infektionsrate (rate)
\(0\:\leq\: d\:\leq\:0\)   die Testverlässlichkeit (dependability)

\(r\: =\:\frac{r\,\cdot\, d}{r\,\cdot\, d\: +\: (1-r)\,\cdot\, (1-d)}\)   \(\Leftrightarrow\) ... \(2\cdot r^2\cdot d\: -\:2\cdot r\cdot d\: -\: r^2\: +\: r\: =\:0\)
Hier ist schon der erste Fall zu erkennen:   \(r=0\)
Umfasse die Stichprobe mindestens 10.000 Personen; dann erkennt man diesen Fall daran, dass kein einziger von doch einigen "positiv" getesteten irgendwelche Symptome zeigt - weil eben niemand infiziert ist!

Für   \(r\neq0\)   darf man desweiteren durch \(r\) teilen:
\(2\cdot r\cdot d\: -\:2\cdot d\: -\: r\: +\:1\: =\:0\)   \(\Leftrightarrow\)   \((2\cdot d-1)\:\cdot\: (r-1)\: =0\)
Hier ergeben sich also zwei weitere Fälle...

Entweder ist im zweiten Fall   \(r=1\)
Umfasse die Stichprobe wiederum mindestens 10.000 Personen; dann erkennt man diesen Fall daran, dass doch einige der wenigen "negativ" getesteten deutliche Symptome zeigen - weil eben alle infiziert sind!

Oder es ist im dritten Fall   \(d=0,5\)
Umfasse die Stichprobe wiederum mindestens 10.000 Personen; dann erkennt man diesen Fall daran, dass ziemlich genau die Hälfte der Probanden ein "negatives" Testergebnis erhält, aber dennoch wieder einige [trotzdem] deutliche Symptome zeigen.


-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




Wahlurne Für cramilu bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1233
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-15


Hi, also \(r = A(K) = 1\) oder \(r = A(K) = 0\) stimmt, den anderen Fall kann man ausschließen... aber bei dem woran man es erkennt, da habe ich was anderes gemeint xD


Meine Lösung...

Entsprechend dieser Bezeichnung: Link

1) In der Aufgabe wird angegeben, dass der Test oft auch einen Nutzen habe... also es gibt Fälle, in denen ein positiv getestet eher erkrankt ist als ein nicht getester:
\(p_K(k^1g^0) > A(K)\\
\frac{1}{1+\frac{A_G}{A_K} \cdot \frac{p(g,f)}{p(k,r)}} > A_K\\
\to 1 > A_K + A_G \cdot \frac{p(g,f)}{p(k,r)}\\
\to 1-\frac{p(g,f)}{p(k,r)} > A_K \cdot (1 - \frac{p(g,f)}{p(k,r)})\)

Da dies für verschiedene \(A_K\) gelten solle (nicht unbedingt alle), und immer gilt: \(A_K \in \left[0;1\right]\), muss man hier nur ausschließen, dass beide Seiten negativ oder null werden (damit die Ungleichung für verschieden \(A_K\) gelten kann):
\(\to 1-\frac{p(g,f)}{p(k,r)} > 0\\
\to p(k,r) > p(g,f)\)

Ein Test ist also nützlich, wenn er mit einer höheren Wahrscheinlichkeit einen Kranken richtig erkennt als einen Gesunden falsch. In den Fällen kann ein positiv getesteter mit höherer Wahrscheinlichkeit erkrankt sein als eine ungetestete Person.

Dies seien die einzigen Einschränkungen dafür, wie genau der Test ist.


2) Wann hat der Test dennoch keinen Nutzen?
\(A_K = 0\) ist offensichtlich eine Lösung, dann sind unter den positiv getesteten auch keine erkrankten wie unter allen, ansonsten mit \(A_K > 0\):
\(p_K(k^1g^0) = A(K)\\
\frac{1}{1+\frac{A_G}{A_K} \cdot \frac{p(g,f)}{p(k,r)}} = A_K\\
\to 1 = A_K + A_G \cdot \frac{p(g,f)}{p(k,r)}\\
\to 1-\frac{p(g,f)}{p(k,r)} = A_K \cdot (1 - \frac{p(g,f)}{p(k,r)})\)
Da: \(p(k,r) > p(g,f)\):
\(\to A_K = 1\)

Die einzige andere Möglichkeit ist noch, dass alle erkrankt sind, dann sind offensichtlich auch unter allen positiv getesteten nur erkrankte.

Also außer in den offensichtlichen Fällen hat ein Test immer einen Sinn... also durch einen Test kann man (wenn nicht alle oder keiner erkrankt ist) immer eher erkrankte als nicht erkrankte finden.

3) Woran erkennt man das?
Fall 1: \(A_K = 0\)
Diesen Fall erkennt man daran, dass wenn man die Leute testet, dann die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test ("krank", offensichtlich alle falsch) folgende ist:
\(p(k^1g^0) = A_K(k^1g^0) + A_G(k^1g^0) = 0 + p(g,f)\)
Also wenn der Anteil der positiven Tests die untere Schranke \(p(g,f)\) (Wahrscheinlichkeit einen falsch positiven Testes) erreicht, so kann man davon ausgehen, dass keiner mehr erkrankt ist.

Fall 2: \(A_K = 1\)
Diesen Fall erkennt man daran, dass wenn man die Leute testet, dann die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test ("gesund", offensichtlich alle falsch) folgende ist:
\(p(k^0g^1) = A_K(k^0g^1) + A_G(k^0g^1) = p(k,f) + 0 = 1 - p(k,r)\)
Also wenn der Anteil der negativen Tests die untere Schranke \(p(k,f)\) (Wahrscheinlichkeit einen falsch negativen Testes) erreicht, so kann man davon ausgehen, dass jeder erkrankt ist. In dem Fall wäre dann auch die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testes bei seiner oberen Schranke: \(p(k^1g^0) = p(k,r) > p(g,f)\)

Also wenn man diese Werte für den Test kennt, oft genug testet, so kann man damit auch herausfinden, ob alle oder keiner erkrankt ist.

Und zwischen diesen Wahrscheinlichkeiten liegen auch die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Test positiv (oder negativ) ausfällt:
\(p(g,f) \leq p(k^1g^0) \leq p(k,r)\)
Daher ist es auch wichtig, dass diese Grenzen möglichst weit auseinander liegen (möglichst viele Kranke werden erkannt und möglichst keine Gesunden falsch getestet).




Wahlurne Für MartinN bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]