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Beruf J Komma als Mengenoperator
sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-11-12 17:19

Hallo Zuzsammen,

Ich stecke fest weil ich nicht herausfinde für welchen Mengenoperator das Komma steht.

Auf Wikipedia steht es genau gleich wie in unserem Lehrmittel


Erst dachte ich, dass das Komma zwischen unterschiedelichen Bedingungen steht.
Aber wir haben noch ein Beispiel wo das Komma vor dem $"|"$ steht.

Also $\mathbb{P}(A,B)$

Da aber $\mathbb{P}$ eine Funktion von Teilmengen aus $\Omega$ ist, muss also $A,B$ auch wieder eine Teilmenge von $\Omega$ sein.


Ich habe keine Ahnung wofür dieses Komma steht.



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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-12 17:27

Für eine Zufallsvariable $X$ ist "$X=x$" als Argument von $P$ eine Abkürzung für $\{X=x\}\equiv\{\omega:X(\omega)=x\}$.

Und man schreibt "$X=x,Y=y$" als Abkürzung für $\{X=x\}\cap\{Y=y\}$.

Dass jemand $P(A,B)$ statt $P(A\cap B)$ für zwei Mengen $A$ und $B$ schreibt, habe ich aber noch nie gesehen.

--zippy



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-12 17:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo sulky,

das Komma ist kein Mengenoperator. In der ersten Zeile steht einfach die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X_{t+1}=s_{j_{t+1}}\), wenn \(X_{t}=s_{j_t}\), \(X_{t-1}=s_{j_{t-1}}\) und so weiter bekannt ist.

Wie du sagst: damit "trennt man die Bedingungen".

\(P(A,B)\) macht irgendwie jedoch für mich nicht so viel Sinn. Es wird wohl ersatzweise für \(P(A\cap B)\) stehen, so wie es zippy ja auch erläutert hat.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Notationen, Zeichen, Begriffe' von Diophant]
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-12 17:31

Hallo sulky,

das umkringelte Komma im ersten Beispiel steht für "und". Wofür das Komma im zweiten Beispiel steht, weiß ich nicht. Kommt wohl auf den Kontext an.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12 17:49

Hallo Zippy, Diophant unt strgaltentf,

Vielen Dank für eure Schnellen Antworten.


Im Beispiel im Lehrmittel jedoch steht das Komma aber auch ohne das Weglassen der geschweiften Klammern.

$\mathbb{P}(X_n=j|X_0=i)=\mathbb{P}(\{Xn=j\},\cup_{k=1}^n\{T_j=k\}|X_0=i)$

Hier verstehe ich nicht ob $Xn$ die Bezeichnung für eine ZV ist oder ob es nur ein Fehler ist und $X_n$ heissen sollte.

Ist denn hier das "," einfach gleichzusetzen mit "$\cap$"?



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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-12 18:02

2020-11-12 17:49 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Hier verstehe ich nicht ob $Xn$ die Bezeichnung für eine ZV ist oder ob es nur ein Fehler ist und $X_n$ heissen sollte.

Einfach ein Tippfehler, es soll $X_n$ heißen.

2020-11-12 17:49 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Ist denn hier das "," einfach gleichzusetzen mit "$\cap$"?

Ja.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12 20:11

hmmm....

Trotzdem gehts noch nicht ganz auf. Irgendwie scheints logisch auf der linken Seite des Bedningungsstriches. Aber auf der rechten Seite ist es unklar.

Wenn ich den Schritt von $\mathbb{P}(A|B)$ nach $\mathbb{P}(A|B,C)$
mache, dann sollte ja die Wahrscheinlichkeit kleiner werden weil ja eine Bednigung mehr dazu kommt.

Stattessen ist aber $B \cap C$ eine Teilmenge von $B$ und folglich $|B\cap C$ eine schwächere Bednigung als $|B$...



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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-12 20:20

2020-11-12 20:11 - sulky in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn ich den Schritt von $\mathbb{P}(A|B)$ nach $\mathbb{P}(A|B,C)$
mache, dann sollte ja die Wahrscheinlichkeit kleiner werden weil ja eine Bednigung mehr dazu kommt.

Das ist Unsinn.

Betrachte folgendes Beispiel: $P(A)=\frac12$, $B$ ist unabhängig von $A$, $C=A$. Dann ist $P(A\mid B)=\frac12<P(A\mid B\cap C)=1$.

2020-11-12 20:11 - sulky in Beitrag No. 6 schreibt:
Stattessen ist aber $B \cap C$ eine Teilmenge von $B$ und folglich $|B\cap C$ eine schwächere Bednigung als $|B$...

Bedingungen sind umso stärker, je kleiner diese Menge ist. Das kann man schon daran sehen, dass $P(-\!\mid\Omega)=P(-)$ ist, d.h. dass die größtmögliche Menge $\Omega$ die schwächstmögliche Bedingung darstellt.



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-13 20:46

ok. Dies ist soweit geklärt.

Nun kann ich weiter arbteiten.

Vielen Dank Zippy, Diophant, stragaltentf und Kezer



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-17 22:48

Hallo zusammen, ich brauche doch nochmals Hilfe zu einem sehr verwandt thema.

Quer über den Kurs taucht immer wieder $p_{i,j}$ auf. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dass wir zum Zustand $j$ gelangen wenn wir beim Zustand $i$ sind.

Neu taucht aber $p$ mit nur einem Index auf. Dafür mit einem indizierten Index.

Im Beispiel geht es um den Beweis, dass wenn $(X_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ eine Markovkette ist, dann ist es $Y_n=X_{-n}$ auch.



Ich habe keine Ahnung was hier im übergang von der dritten zur vierten Zeile passiert.

ist $p$ hier etwas ganz anderes als wie oben beschrieben?
Wenn $p$ für eine Wahrscheinlichkeit steht, dann ist ja $p\in]0,1[$. was bedeutet dann das Komma?

Ich habe keine Anhnung was diese 4. Zeile bedeutet.



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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-18 00:36

2020-11-17 22:48 - sulky in Beitrag No. 9 schreibt:
ist $p$ hier etwas ganz anderes als wie oben beschrieben?

Nein, die $p_{i,j}$ sind genau die von dir oben erwähnten Übergangswahrscheinlichkeiten $
p_{i,j}=P(X_k=j\mid X_{k-1}=i)$.

Und $\pi_i$ ist der Zustand zum Zeitpunkt $-n-1$, d.h. $\pi_i=P(X_{-n-1}=i)$.

2020-11-17 22:48 - sulky in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich habe keine Ahnung was hier im übergang von der dritten zur vierten Zeile passiert.

Für Zähler und Nenner werden jeweils folgende Schritte durchgeführt:
1. Anwendung von $P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$
2. Ausnutzen der Markow-Eigenschaft.
3. Einsetzen der Definition von $p_{i,j}$.
4. Einsetzen der Definition von $\pi_i$.$$ \begin{align*}
&P(X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k}=i_{n-k})\stackrel{1.}=\\[1.5ex]
&P(X_{-n+k}=i_{n-k}\mid
  X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})\cdot\\&\qquad
  P(X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})\stackrel{2.}=\\[1.5ex]
&P(X_{-n+k}=i_{n-k}\mid
  X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})\cdot\\&\qquad
  P(X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})\stackrel{3.}=\\[1.5ex]
&p_{i_{n-k+1},i_{n-k}}\cdot
  P(X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})=\\[1ex]&\qquad\vdots\\
&p_{i_{n-k+1},i_{n-k}}\cdot
 p_{i_{n-k+2},i_{n-k+1}}\cdot\ldots\cdot
 p_{i_{n+1},i_n}\cdot
 P(X_{-n-1}=i_{n+1})\stackrel{4.}=\\[1.5ex]
&p_{i_{n-k+1},i_{n-k}}\cdot
 p_{i_{n-k+2},i_{n-k+1}}\cdot\ldots\cdot
 p_{i_{n+1},i_n}\cdot
 \pi_{i_{n+1}}
\end{align*}$$



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19 20:22

Ach so geht das. Jetzt verstehe ich es.

Du wendest $k-1$ mal sukzessive die Regel  $P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$  an, sodass nach der ersten Anwendung
$
\begin{align*}
\\[1.5ex]
&P(X_{-n+k}=i_{n-k}\mid
  X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})\cdot\\&\qquad
  P(X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})\end{align*}$
zu
$
\begin{align*}
\\[1.5ex]
&p_{i_{n-k+1},i_{n-k}}\cdot
  P(X_{-n-1}=i_{n+1},X_{-n}=i_n,X_{-n+1}=i_{n-1},
  \ldots,X_{-n+k-1}=i_{n-k+1})

\end{align*}$

wird. und bis zur $k-1$-ten Anwendung zu:

$
\begin{align*}


&p_{i_{n-k+1},i_{n-k}}\cdot
 p_{i_{n-k+2},i_{n-k+1}}\cdot\ldots\cdot
 p_{i_{n+1},i_n}\cdot
 P(X_{-n-1}=i_{n+1})
\end{align*}$


Ich habe viel Zeit gebraucht, aber jetzt habe ich wirklich etwas verstanden was ich zuvor nicht verstanden habe.

Ich sehe, wieviel Zeit du aufgewendest hast dies alles einzutippen.

Vielen, vielen Dank Zippy.



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-21 16:17

Noch eine Frage zu diesem Thema:

Wie kommt man von Rot nach Grün?
Den Rest des Beweises habe ich nämlich verstanden.
$\{Tj=k\},X_0=i =?= X_k=j$

Dass $Tj=k$ ein Tippfehler ist und $T_j=k$ heissen sollte, darüber haben wir uns weiter oben schon unterhalten.

Verwirrend finde ich auch $\{T_j=k\},X_0=i$.
Gibt es einen Grund weshalb er einmal die Klammern $\{\}$ verrwendet und das andere Mal nicht?




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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-21 18:01

2020-11-21 16:17 - sulky in Beitrag No. 12 schreibt:
Wie kommt man von Rot nach Grün?

Dafür müsste man wissen, wie die $T_j$ mit dem Prozess $(X_m)$ zusammenhängen.

Ich nehme mal an, dass $T_j=k$ äquivalent dazu ist, dass zum einen $X_k=j$ ist und dass zum anderen $X_0$, $X_1$, $\ldots$, $X_{k-1}$ irgendwelche Bedingungen erfüllen. (Das wäre beispielsweise der Fall, wenn $T_j$ den Index $m$ bezeichnet, an dem zum ersten Mal $X_m=j$ ist.) Dann entpricht der Schritt von rot nach grün dem Ausnutzen der Markow-Eigenschaft von $(X_m)$.

2020-11-21 16:17 - sulky in Beitrag No. 12 schreibt:
Gibt es einen Grund weshalb er einmal die Klammern $\{\}$ verrwendet und das andere Mal nicht?

Da das alles ziemlich schlampig ge$\TeX$t ist, würde ich hier keinen tieferen Sinn vermuten.



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-21 23:40

(2020-11-21 18:01 - zippy in <a

Dafür müsste man wissen, wie die $T_j$ mit dem Prozess $(X_m)$ zusammenhängen.


Der Prozess wurde ja innerhalb des Beweises definiert.

Es geht ja nur darum zu beweisen dass

$p_{i,j}^n=\sum_{k=0}^{n-1} p_{j,j}^{(n-k)}f_{i,j}^{(k)}+f_{i,j}^{(n)}$
Daher glaube ich nicht dass es hier einen Zusammenhang gibt.

Zur Markow-Eigenschaft gilt zu sagen, dass dieser Beweis im Lehrmittel genau 2 Seiten vor dem Kapitel zur Markow-Eigenschaft steht.
Allerdings heisst das Kapitel "Starke Markow-Eigenschaft".

Gibt es denn auch noch eine schwache Markow-Eigenschaft?



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Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-22 00:19

2020-11-21 23:40 - sulky in Beitrag No. 14 schreibt:
Daher glaube ich nicht dass es hier einen Zusammenhang gibt.

Die $T_j$ müssen einen Zusammenhang mit den $X_m$ haben, sonst ergibt das Ganze keinen Sinn.

2020-11-21 23:40 - sulky in Beitrag No. 14 schreibt:
Allerdings heisst das Kapitel "Starke Markow-Eigenschaft".

Gibt es denn auch noch eine schwache Markow-Eigenschaft?

Die gibt es beide, aber beide sind mehr als die "ganz normale" Markow-Eigenschaft, die ich meinte und die auch elementare Markow-Eigenschaft genannt wird (du findest alle drei Begriffe in der Wikipedia).



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Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 10:35

2020-11-22 00:19 - zippy in Beitrag No. 15 schreibt:

Die $T_j$ müssen einen Zusammenhang mit den $X_m$ haben, sonst ergibt das Ganze keinen Sinn.



Also in der Definition der Erreichzeit $T_i$ gibt es ja schon einen Zusammenhang. $T_i=\{inf\; n\ge 1: X_n=i\}$

Trotzdem sehe ich den Zusammenhang noch immer nicht.




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Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-22 11:28

2020-11-22 10:35 - sulky in Beitrag No. 16 schreibt:
Also in der Definition der Erreichzeit $T_i$ gibt es ja schon einen Zusammenhang. $T_i=\{inf\; n\ge 1: X_n=i\}$

Das ist doch genau die Eigenschaft, die wir brauchen:

2020-11-21 18:01 - zippy in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich nehme mal an, dass $T_j=k$ äquivalent dazu ist, dass zum einen $X_k=j$ ist und dass zum anderen $X_0$, $X_1$, $\ldots$, $X_{k-1}$ irgendwelche Bedingungen erfüllen.

Mit der obigen Definition ist $T_j=k$ äquivalent zu $X_k=j$, $X_{k-1}\ne j$, $\ldots$, $X_0\ne j$. Und da $(X_m)$ ein Markow-Prozess ist, kann man in$$ P(X_n=j\mid T_j=k,X_0=i) =
P(X_n=j\mid X_k=j,X_{k-1}\ne j,\ldots,X_1\ne j,X_0=i)
$$die Bedingungen an die Zeiten vor $k$ weglassen:$$ P(X_n=j\mid X_k=j,X_{k-1}\ne j,\ldots,X_1\ne j,X_0=i) =
P(X_n=j\mid X_k=j)$$



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Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 15:41

Ja, jetzt kommt Licht ins Dunkle.

$\sum_{k=1}^{n-1}\mathbb{P}(X_n=j|\{T_j=k\},X_0=i)\mathbb{P}(T_j=k|X_0=i)+f_{i,j}^n$

Nun so ausgeschrieben wie du gesagt hast:

$\sum_{k=1}^{n-1}\mathbb{P}(X_n=j|X_k=j,X_{k-1}\neq j,...,X_0\neq j,X_0=i)\mathbb{P}(T_j=k|X_0=i)+f_{i,j}^n$

Nun kann man zumindest für das Summenglied  $k=n-1$ die Definition der Markovkette anwenden und kommt auf das richtige Resultat.
Aber es muss ja für $k\in [1,n-1]$ stimmen. Für kleinere $k$ sehe ich es leider noch immer nicht.



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Beitrag No.19, eingetragen 2020-11-22 17:09

2020-11-22 15:41 - sulky in Beitrag No. 18 schreibt:
Nun kann man zumindest für das Summenglied  $k=n-1$ die Definition der Markovkette anwenden und kommt auf das richtige Resultat.

Warum nur für $k=n-1$? Das gilt für beliebige $k<n$.

Du wirst vermutlich in deinen Unterlagen irgendwo einen Induktionsbeweis mit folgender Kernidee finden:$$\begin{align*}
&P(X_n=i_n\mid X_{n-2}=i_{n-2},X_{n-3}=i_{n-3},\ldots) = \\[1.5ex]
&\sum_{i_{n-1}} P(X_n=i_n,X_{n-1}=i_{n-1}\mid
    X_{n-2}=i_{n-2},X_{n-3}=i_{n-3},\ldots) =\\[1.5ex]
&\sum_{i_{n-1}} P(X_n=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1},X_{n-2}=i_{n-2},
                  X_{n-3}=i_{n-3},\ldots) \\&\qquad\cdot
  P(X_{n-1}=i_{n-1}\mid X_{n-2}=i_{n-2},X_{n-3}=i_{n-3},\ldots)
  = \\[1.5ex]
&\sum_{i_{n-1}} P(X_n=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1},X_{n-2}=i_{n-2})
  \\&\qquad\cdot P(X_{n-1}=i_{n-1}\mid X_{n-2}=i_{n-2}) = \\[1.5ex]
&\sum_{i_{n-1}} P(X_n=i_n,X_{n-1}=i_{n-1}\mid
    X_{n-2}=i_{n-2}) =\\[1.5ex]
&P(X_n=i_n\mid X_{n-2}=i_{n-2})\end{align*}$$Man kann also in einer Bedingung nach einem "$X_k=j$" immer alle Bedingungen an $X_{k-1}$, $X_{k-2}$, $\ldots$ weglassen.



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Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 22:02

...also ich habe den Beweis wirklich nicht gefunden.

Aber nun habe ich ja den Beweis.

Vielen Dank Zippy. Einmal mehr hast du mir so viel weitergeholfen




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