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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körperhomomorphismus
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Universität/Hochschule Körperhomomorphismus
LenaM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-15



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Ich habe jetzt aber leider keine Ahnung, wie ich weiter machen soll. Wie kann ich die behauptung für die reellen Zahlen beweisen?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Keine leichte Aufgabe. ;-)

Irgendwo musst du (implizit) die Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ verwenden. Wenn $x > 0$ ist, dann hat $x$ eine Quadratwurzel in $\mathbb{R}$. Nutze das, um zu zeigen, dass $\varphi$ streng monoton wächst.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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LenaM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16


2020-11-15 15:14 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Keine leichte Aufgabe. 😉

Irgendwo musst du (implizit) die Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ verwenden. Wenn $x > 0$ ist, dann hat $x$ eine Quadratwurzel in $\mathbb{R}$. Nutze das, um zu zeigen, dass $\varphi$ streng monoton wächst.


Danke für die Schnelle Antwort, vom Prinzip verstehe ich was du meinst. Aber ich habe leider immer noch keine Ahnung wie ich das anwenden kann



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Heißt das, du hast die Eigenschaften aus Beitrag 1 bewiesen? Setze danach zum Widerspruch an (und beachte, dass $\mathbb Q$ dicht in $\mathbb R$ liegt).


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-16


Hallo,

der Hinweis ist ja, dass für positive reelle Zahlen eine Quadratwurzel existiert.

Zeigen möchten wir $\varphi(a)<\varphi(b)$ für $a<b$. Also, dass $\varphi$ streng monoton wächst.

Hierbei ist $a<b$ gleichbedeutend mit $0<b-a$. Also ist $b-a$ nichtnegativ und lässt sich schreiben als $b-a=r^2$.

Das nützliche daran ist, dass ihr vermutlich mal bewiesen habt, dass Quadratzahlen immer positiv sind.
Das brauchen wir um zu entscheiden, ob $\varphi(b)-\varphi(a)$ nun positiv oder negativ ist.

Zeigen möchtest du ja, dass $\varphi(x)=x$ ist.

Hast du also bewiesen, dass für $a<b$ gilt, dass $\varphi(a)<\varphi(b)$ ist, dann könntest du nun einen Widerspruchsbeweis probieren.

Angenommen es gibt ein $r\in\mathbb{R}$ mit $f(r)\neq r$. Dann gilt entweder $f(r)<r$ oder $f(r)>r$.

Versuche dies nun zum Widerspruch zu führen.

Allgemeiner Hinweis der mit der Aufgabe nichts zutun hat:
Den Beweis der Aussage findest du in dem Buch 'Lineare Algebra' von Albrecht Beutelspacher. Ich empfehle das Studienanfängern immer ganz gerne.
Dort habe ich zum Beispiel diesen Beweis kennen gelernt.

Ich möchte jetzt nicht sagen, dass du in ein Buch schauen sollst, um da irgendeinen Beweis abzuschreiben, sondern dass es ganz fruchtbar sein kann, wenn man die Literatur zur Vorlesung studiert, bzw. mal in die Bücher guckt. Das genannte Buch eignet sich sehr gut, um in der Mathematik Fuß zu fassen. Das heißt nicht, dass das Buch besonders einfach ist, oder dass man ohne Mühe die Dinge dort versteht. Es ist auch kein perfektes Buch.

Anstelle eine Definition im Internet nachzuschlagen, kannst du etwa die Definition in einem Buch (oder besser noch deinem Skript) nachschlagen. Das ist nämlich sehr viel lehrreicher.
Auch andere Dinge findet man in der Literatur oftmals schneller, und besser, als im Internet. Wer würde denn damit heute noch rechnen, dass die altmodischen Bücher dem Internet was voraus haben?
Diese Erfahrung muss man mal gemacht haben. Dann lohnt sich auch der Gang in die Unibibliothek. :)

Oder auch einfach mal ein paar Aufgaben zu bestimmten Themen in Büchern machen, wenn dir die Übungsaufgaben zu schwer sind. So kann man zum Beispiel seine Zeit produktiver nutzen, die Begriffe an einfacheren Beispielen (vielleicht sogar mit Lösungshinweisen) nachvollziehen, und dann zu den schwierigeren Aufgaben auf dem Übungszettel zurückkehren.

Im besten Fall hättest du zum Beispiel die Literatur bereits studiert, und den Beweis mal nachvollzogen, und müsstest dich jetzt nur noch daran erinnern wie der Beweis geführt wurde, und diesen reproduzieren.
(Zugegeben ist das eine etwas utopische Vorstellung, neben den Vorlesungen auch signifikante Fortschritte in der entsprechenden Literatur zu machen. Ein Blick in die Bücher lohnt sich aber eigentlich fast immer!)

Selbstverständlich ist es am besten, wenn man auf einen Beweis selber kommt, aber dazu fehlt auch manchmal einfach die Zeit, oder die zündende Idee...

Ich will jetzt auch nicht irgendwie den Verkauf von Büchern promoten, aber Bücher sind eigentlich echt nicht teuer (manche schon...). Ich finde es zum Beispiel sehr schön zu sehen, wie meine Büchersammlung zur mathematischen Literatur wächst. Und wenn du zum Beispiel jedes Semester dir ein Buch zulegst, und als eigenes kleines Projekt studierst, dann lernst du unheimlich viel!

Es gibt unglaublich viele Bücher zur Mathematik. Da ist für jeden etwas dabei. Auch zu Themen, die dir im Studium gar nicht über den Weg laufen, die du einfach mal so dir selber aneignen kannst.
Es gibt auch kurze Bücher, die nicht mehr als 100 Seiten haben. Die eignen sich sehr gut, um mal in ein Thema hinein zu schnuppern, und danach anspruchsvollere Literatur zu studieren.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-16


Hier gibt es mindestens drei verschiedene Möglichkeiten, (ausgehend von der bereits bewiesenen Monotonie) den Beweis abzuschließen. Jeweils benutzt man die Dichtheit von $\IQ$ in $\IR$.

1) Die Annahme $\varphi(x) < x$ (oder $\varphi(x) > x$, geht analog) führt man zu einem Widerspruch.

2) Man zeigt, dass $\varphi$ Suprema erhält. Wegen $x = \sup_{q \in \IQ,\, q \leq x} q$ für $x \in \IR$ folgt dann sofort $\varphi(x)=x$.

3) Man zeigt, dass $\varphi$ automatisch stetig ist. (Dann folgt natürlich die Behauptung.) Das zeige ich einmal:

Wir zeigen die Stetigkeit in $x \in \IR$ mit dem Epsilon-Delta-Kriterium. Sei $\varepsilon > 0$. Wähle irgendein $q \in \IQ$ mit $0 < q < \varepsilon$. Für $|x-y| \leq \delta := q$ gilt nun $x - q \leq y \leq x + q$ und daher $\varphi(x - q) \leq \varphi(y) \leq \varphi(x+q)$ bzw. $\varphi(x) - q \leq \varphi(y) \leq \varphi(x) + q$, also $|\varphi(x) - \varphi(y)| \leq q < \varepsilon$.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-24


Hallo,
ein anderes Argument wäre folgendes (was vielleicht versteckt in Triceratops Beitrag schon vorkommt):
Nähere deine reelle Zahl $x$ von unten mit $s_n \nearrow x$ und von oben mit $t_n \searrow x$ monotonen Folgen rationaler Zahlen an. D.h. $ t_n \geq x \geq s_n$, wende $f$ an und wir erhalten wegen der Monotonie und $f|_\mathbb{Q} = \operatorname{id}_\mathbb{Q}$ die Ungleichungskette $t_n \geq f(x) \geq s_n$. Beide Seiten der Ungleichung konvergieren gegen $x$, somit $x\geq f(x)\geq x$ und damit Gleichheit.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-24


Das ist im Prinzip derselbe Schluss wie in 1), nur besser, weil er keinen unnötigen Widerspruchsbeweis hat. Prima.

Bei 1) nimmt man $\varphi(x) < x$ an (oder halt $\varphi(x) > x$, was ähnlich geht), sodass es eine rationale Zahl $q$ mit $\varphi(x) > q > x$ gibt. Wegen $q > x$ folgt $q = \varphi(q) \varphi \varphi(x)$, Widerspruch zu $\varphi(x) > q$.

Allgemeiner zeigt der Beweis: Sind $L$ eine lineare Ordnung, $\varphi : L \to L$ eine streng monoton wachsende Abbildung, $ D \subseteq L$ eine dichte Teilmenge mit $\varphi |_D = \mathrm{id}$, so gilt auch $\varphi = \mathrm{id}$.



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