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Mathematische Physik » Distributionen » Distribution alternative Definition und Multiplikation		Druckversion
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Universität/Hochschule J Distribution alternative Definition und Multiplikation
Celex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-16


Hallo alle zusammen,
ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:



An sich muss ich nur die untere Gleichung beweisen einmal mit der "einfacheren" und einmal mit der "schwierigeren" Definition schön und gut.
Mit der ersten Definition habe ich es denke ich soweit hinbekommen, wenn ich jedoch die zweite Definition ausschreibe komme ich so gar nicht weiter und ich bin gerade ziemlich am Verzweifeln, kann mir jemand weiterhelfen ?

lg Celex

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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-16


Hallo Celex,

ohne es jetzt selber nachgerechnet zu haben, würde ich so beginnen:
\[(\delta\cdot f)(g)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\hat{\delta}*\hat{f})(\check{g}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}(\hat{\delta}*\hat{f})(t)\check{g}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\hat{\delta}(\hat{f}(t-\cdot))\check{g}(t)\,dt.\] Es wird dabei in der Notation einer regulären Distribution nicht zwischen der Distribution und der Funktion, von der sie induziert wird unterschieden. Der nächste Schritt besteht nun also darin, sich zu überlegen, wie die Fourier-Transformation von \(\delta\) aussieht, was direkt mit der Definition ausgerechnet werden kann, da \(\hat{\delta}(h)=\delta(\hat{h})=\hat{h}(0)\) für \(h\in\mathcal{S}\) ist.

Ganz am Ende der Rechnung willst Du natürlich \(f(0)g(0)\) herausbekommen.

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Celex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16


Danke auf jeden Fall für die Antwort. Ich probiere mal mein Bestes.

lg

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