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  Körpererweiterung von ℤ₂ und ℂ |
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Mathler
Junior 
Dabei seit: 24.10.2020
Mitteilungen: 9
Herkunft: Österreich
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Hallo lieber Matheplanet,
Ich habe aktuell ein Problem bei folgendem Beispiel aus Lineare Algebra 1:
Sei \(K\) ein Unterkörper eines Körpers \((L,+,*)\).
a) Beweise, dass \((L,+)\) gemeinsam mit der auf \(K \times L \) eingeschränkten Multiplikation ein Vektorraum über \(K\) ist.
b) Gib für \(K=\IZ_2, K=\IQ, K=\IR, K=\IC \) je mindestens ein Beispiel für einen solchen Vektorraum an, wobei zusätzlich \( K \neq L \) erfüllt sein soll.
Der erste Teil ist mir schon klar, siehe Beweis unten, beim zweiten Teil habe ich jedoch große Probleme beim finden einer Körpererweiterung von \(\IZ_2\) und \(\IC \), zumindest denke ich das ich solche Körpererweiterungen finden muss, da ja \(\IZ_2\) bzw. \(\IC \) ein Unterkörper von dem Gefundenen sein muss.
Ich habe bereits diverse Forenbeiträge durchforstet, leider kommen da überall Begriffe vor welche in unserer Vorlesung noch nicht durchgemacht wurden.
Das habe ich bereits:
Ich bitte um Hilfe oder Ansätze zum zweiten Teil.
Des Weiteren noch die Frage ob es für euch okay ist das ich hier quasi die Screenshots meiner Ausarbeitung poste und es nicht In Latex Form im Forum poste.
Lg Mathias
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-20
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Hallo!
2020-11-19 23:29 - Mathler im Themenstart schreibt:
Der erste Teil ist mir schon klar, siehe Beweis unten, beim zweiten Teil habe ich jedoch große Probleme beim finden einer Körpererweiterung von Z2 und C, zumindest denke ich das ich solch eine finden muss.
Ich habe bereits diverse Forenbeiträge durchforstet, leider kommen da überall Begriffe vor welche in unserer Vorlesung noch nicht durchgemacht wurden. Die Antwort hängt dann wohl entscheidend davon ab, was ihr bereits für Beispiele und Konstruktionen von Körpern behandelt habt. Wie wärs mit dem rationalen Funktionenkörper $\IC(X)$ bzw. $\IF_2(X)$? Oder $\IF_4$?
Dein Beweis hat bei der Assoziativität einen kleinen Fehler in der Begründung: $(L,\cdot)$ ist keine Gruppe.
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Körper und Galois-Theorie' von ligning]
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Mathler
Junior
Dabei seit: 24.10.2020
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Herkunft: Österreich
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20
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Hallo :)
2020-11-20 09:30 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo!
Die Antwort hängt dann wohl entscheidend davon ab, was ihr bereits für Beispiele und Konstruktionen von Körpern behandelt habt. Wie wärs mit dem rationalen Funktionenkörper $\IC(X)$ bzw. $\IF_2(X)$? Oder $\IF_4$?
Dein Beweis hat bei der Assoziativität einen kleinen Fehler in der Begründung: $(L,\cdot)$ ist keine Gruppe.
Erstmal danke für deine Antwort, ich vermute mal bei dem kleinen Fehler meinst du, dass eigentlich nur \((L^\times,\cdot)\) eine Gruppe ist?
Der Hinweis mit GF(4) hilft mir sehr, es wurde im Skript sogar gezeigt das \(\IZ_2\) ein Unterkörper von GF(4) ist.
Rationale Funktionenkörper wurden leider noch gar nicht besprochen, ich habe mich nun etwas auf Wikipedia eingelesen und denke zumindest Ansatzweise zu verstehen um was es dabei geht, leider werden Polynomringe bei uns erst (viel) später gemacht.
Verstehe ich es richtig das ich nach Angabe nun noch beweisen muss, dass GF(4) VR über \(\IZ_2\) ist und \(\IC(X)\) VR über \(\IC\)?
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ligning
Senior
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Herkunft: Berlin
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-20
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2020-11-20 10:28 - Mathler in Beitrag No. 2 schreibt:
Erstmal danke für deine Antwort, ich vermute mal bei dem kleinen Fehler meinst du, dass eigentlich nur \((L^\times,\cdot)\) eine Gruppe ist? Ja. Dass die Null bei der Assoziativität mitspielt, folgt aber daraus, dass $L$ ein Körper ist.
Rationale Funktionenkörper wurden leider noch gar nicht besprochen, ich habe mich nun etwas auf Wikipedia eingelesen und denke zumindest Ansatzweise zu verstehen um was es dabei geht, leider werden Polynomringe bei uns erst (viel) später gemacht.
Dann weiß ichs auch nicht, tut mir leid. Meines Wissens muss man aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit schon mindestens zu $\IC(X)$ greifen, um eine echte Körpererweiterung zu konstruieren.
Verstehe ich es richtig das ich nach Angabe nun noch beweisen muss, dass GF(4) VR über \(\IZ_2\) ist und \(\IC(X)\) VR über \(\IC\)?
Das solltest du ja mit dem allgemeinen Beweis schon erledigt haben.
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Triceratops
Aktiv
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 |  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-27
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Bei $\IC$ kann man zum Beispiel den Körper der meromorphen Funktionen auf $\IC$ betrachten. Aber wie ligning schon sagt: Er ist isomorph zu $\mathrm{Quot}(\IC[[X]])$, enthält also $\mathrm{Quot}(\IC[X]) = \IC(X)$.
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