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| Autor |
  nicht kompakter Faltungsoperator |
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Cielo
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Hallo zusammen,
ich hänge momentan an der folgenden Fragestellung und hoffe, ihr könnt mir wieder die richtigen Hinweise geben:
"Zeigen Sie, dass eine Funktion $G \in L^1(\mathbb{R})$ existiert, sodass die Faltung $L^1(\mathbb{R}) \rightarrow L^1(\mathbb{R}), u \mapsto G \ast u$ kein kompakter Operator ist".
Kompakter Operator bedeutet ja, dass wir für jede beschränkte Folge $u_n$ eine konvergente Teilfolge $Ku_{nk}$ finden.
Ich suche also eine Funktion G, sodass $||Gu_n - Gu_m|| > 0$, dann kann auch keine konvergente Teilfolge existieren. Vermutlich muss ich ausnutzen, dass wir über komplett $\mathbb{R}$ integrieren, aber wie? Etwas in die Richtung $G(x,y) = \exp((x-y)^2)$?
Viele Grüße
Cielo
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sonnenschein96
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-21
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Hallo Cielo,
2020-11-20 14:44 - Cielo im Themenstart schreibt:
Ich suche also eine Funktion G, sodass $||Gu_n - Gu_m|| > 0$, dann kann auch keine konvergente Teilfolge existieren. Zunächst meintest Du wohl \(G*u_n\) und nicht \(Gu_n\). Außerdem liefert \(\|G*u_n-G*u_m\|>0\) für \(n\neq m\) keinen Widerspruch. Dies besagt lediglich \(G*u_n\neq G*u_m\) für \(n\neq m\), was der Konvergenz einer Teilfolge nicht im Wege steht. Es müsste eher ein \(\delta>0\) mit \(\|G*u_n-G*u_m\|\geq\delta\) für alle \(n\neq m\) geben.
2020-11-20 14:44 - Cielo im Themenstart schreibt:
Etwas in die Richtung $G(x,y) = \exp((x-y)^2)$? Du meintest wahrscheinlich eher etwas wie \(G(x)=\exp(-x^2)\) oder nicht? Ich würde mir aber eher etwas aussuchen womit man leicht rechnen kann wie z.B. \(G=\chi_{(0,1)}\) und \(u_n=\chi_{(2n,2n+1)}\). Du siehst sofort dass \((u_n)\) in \(L^1\) beschränkt ist. Wenn ich mich nicht irre, sollten für \(G*u_n\) Dreiecke mit Höhe \(1\) und Träger \([2n,2n+2]\) rauskommen, weswegen \(\|G*u_n-G*u_m\|=2\) für \(n\neq m\) ist.
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Cielo
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-21
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Hallo sonnenschein,
ich wollte bei G zum Ausdruck bringen, dass wir ja $G(x-y)$ betrachten, war schlecht formuliert.
Erstmal habe ich versucht $G*u_n$ versucht so umzuformen, dass beide Funktionen nur noch von y abhängen:
\[ G*u_n = \int_\mathbb{R} \chi_{(0,1)} (x-y) \chi_{[2n,2n+1]}(y)\, dy
= \int_\mathbb{R} \chi_{ (-1,0)} (y-x) \chi_{[2n,2n+1]}(y)\, dy\]
\[=\int_\mathbb{R} \chi_{ (x-1,x)} (y) \chi_{[2n,2n+1]}(y)\, dy \]
\[=\int_\mathbb{R} \chi_{ (x-1,x) \cap [2n,2n+1]} (y)\, dy \]
Wie kann ich an dieser Stelle weiter fortfahren? Zum Beispiel $(x-1,x)$ als Integralgrenzen nutzen?
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sonnenschein96
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-21
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Ja das kannst Du machen. Eigentlich musst Du aber ja nur noch die Länge von \((x-1,x)\cap(2n,2n+1)\) bestimmen, dafür muss man eigentlich nicht mal mehr wirklich rechnen. Wenn \(x\leq 2n\) ist, ist die Länge \(0\), dann steigt sie linear bis sie bei \(x=2n+1\) maximal ist (nämlich \(1\)), dann fällt sie linear und für \(x\geq 2n+2\) ist sie wieder \(0\).
Mach Dir am besten mal eine Skizze, Du schiebst ja nur das Intervall \((x-1,x)\) von links nach rechts. Erst überlappen sich beide Intervalle gar nicht, dann teilweise, dann vollständig, dann teilweise und dann wieder gar nicht.
Rechnerisch müsstest Du z.B. \((x-1,x)\cap(2n,2n+1)=(2n,x)\) beachten, wenn \(2n<x<2n+1\) ist und die Länge davon ist \(x-2n\). Wenn Du \(x-1\) und \(x\) als Integralgrenzen nimmst, läuft das eigentlich auf das Gleiche hinaus: \(\int_{x-1}^x\chi_{(2n,2n+1)}(y)\,dy\) ist in diesem Fall gleich \(\int_{x-1}^{2n}0\,dy+\int_{2n}^x1\,dy=x-2n\).
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Cielo
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Vielen Dank für die Erklärung, jetzt verstehe ich, wie das Dreieck zustande kommt!
Dann bekomme ich mit der Annahme, dass $n>m$:
\[\| G*u_n - G*u_m \|_{L^{1}(\mathbb{R})} = \| \int_\mathbb{R} \chi_{ (x-1,x) \cap [2n,2n+1]} (y)\, dy - \int_\mathbb{R} \chi_{ (x-1,x) \cap [2m,2m+1]} (y)\, dy \|_{L^{1}(\mathbb{R})} \]
\[ = \| \int_{x-1}^x\chi_{(2n,2n+1)}(y)\,dy - \int_{x-1}^x\chi_{(2m,2m+1)}(y)\,dy \|_{L^{1}(\mathbb{R})} \]
\[ \| \int_{x-1}^{2n}0\,dy+\int_{2n}^x1\,dy - \int_{x-1}^{2m}0\,dy - \int_{2m}^x1\,dy \|_{L^{1}(\mathbb{R})} = \|x-2n - (x- 2m) \|_{L^{1}(\mathbb{R})} \]
\[ = \| 2(n-m)\|_{L^{1}(\mathbb{R})} = 2\|n-m\|_{L^{1}(\mathbb{R})}\]
Jetzt wissen wir noch, dass $(n-m)>0$. Reicht das an dieser Stelle? Oder müsste ich hier auch eine Fallunterscheidung machen, je nachdem wie $m$ sich verhält?
Und eine andere Frage habe ich noch: Wie kommt man auf solche Beispiele? Mir fehlt da häufig das Wissen oder die Intuition und ich würde gerne versuchen das Ganze systematischer anzugehen.
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Wally
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Cielo,
wie man darauf kommt? Das ist Erfahrung, die du eben durch solche Aufgaben bekommst.
Wenn man Nicht-Kompaktkheit zeigen will oder Nicht-Konvergenz, ist es dann intuitiv ein Versuch (oder bedingter Reflex), Dinge nach unendlich "weglaufen" zu lassen - analog wie man zeigt, dass die Einheitskugel in \( l^p\)-Räumen nicht kompakt ist.
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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sonnenschein96
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-22
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Bei Deiner Rechnung ist leider einiges durcheinander geraten. Dein Ergebnis \(2\|n-m\|_{L^1(\mathbb{R})}\) ist für \(n\neq m\) gleich unendlich, spätestens hier solltest Du sehen, dass das nicht stimmen kann :P Die Formel \((G*u_n)(x)=x-2n\) gilt nur für \(2n\leq x\leq 2n+1\). Für \(2n+1\leq x\leq 2n+2\) ist \((G*u_n)(x)=-x+2n+2\), sonst ist \((G*u_n)(x)=0\).
Ich hatte die Funktionen \(u_n\) extra so gewählt, dass sich die Dreiecke nicht überlappen. Jedes Dreieck hat wie gesagt Breite \(2\) und Höhe \(1\), also Fläche \(1\) und damit ist \(\|G*u_n-G*u_m\|_1=2\) für \(n\neq m\), ohne Rechnung (Skizze!). Wenn Du unbedingt rechnen willst (ist eine gute Übung, ich bin da aber meistens zu faul für ;D), dann müsste das so aussehen:
\[\|G*u_n-G*u_m\|_1= \int_{2n}^{2n+1}|x-2n|\,dx+\int_{2n+1}^{2n+2}|-x+2n+2|\,dx+\int_{2m}^{2m+1}|-(x-2m)|\,dx+\int_{2m+1}^{2m+2}|-(-x+2m+2)|\,dx.\]
Jedes der Integrale ist gleich \(\frac{1}{2}\) (jeweils ein halbes Dreieck).
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Cielo
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Danke sonnenschein für deine Korrektur! Ich habe mich nochmal hingsetzt, eine Skizze mit beiden Dreiecken gemacht, eine für die Differenz (ein Dreieck quasi nach unten klappen) und dann noch für die Norm (Flächeninhalte addieren). Damit habe ich es jetzt gut verstanden und auch deine Rechnung habe ich zuende geführt.
Vielen Dank für deine ganzen Erläuterungen!!
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