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 Tschebychevsche Ungleichung, Lebesgue-Integral
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Hallo, ich habe Probleme mit dieser Aufgabe: Sei (X, S, \mue) ein Maßraum. Zeige für c > 0 die Tschebychevsche Ungleichung: \mue({ abs(f) >= c}) <= 1/c int(abs(f),\mue, X) Hieraus schließt man für f integrabel, dass \mue({ abs(f) = \inf})=0 und dass f fast überall verschwindet, wenn int(abs(f),\mue, X) = 0 Hinweis: c * \chi_({ abs(f) >=c}) Aus dem Skript habe ich für eine messbare Stufenfunktion f mit c_j paarweise verschieden und A_j:=f^(-1)(c_j) \el\ S die Darstellung: f = sum(c_j \chi_(A_j),j=1,k) Hieraus haben wir das Intergral int(f,\mue, X) := sum(c_j * \mue(A_j), j=1, k). Ich weiß nicht, wie ich diese Definition jetzt auf c* \chi_({ abs(f) >= c}) anwenden soll. Könnte ich hierzu einen Ansatz haben? Ich freue mich auf jede Hilfe. Danke im Voraus.
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Hallo Majazakava,
es gilt \(c\chi_{\{|f|\geq c\}}\leq |f|\). Nun musst Du eigentlich nur beide Seiten integrieren, um die Tschebychev-Ungleichung zu erhalten. Auf die linke Seite kannst Du direkt die von Dir gegebene Definition anwenden (mit einem Summanden), da sie ja von der Form \(c\chi_A\) ist, es kommt dann \(c\mu(A)\) heraus.
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Hallo,
Schreibe das Maß auf der linken Seite als ein Integral und verwende dann noch eine Abschätzung, die sich direkt aus der Definition der Superniveaumenge ergibt! :)
Grüße
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Hallo, soll es dann so aussehen? Wir integrieren c\chi_({ abs(f)>=c}): c\mue({ abs(f) >=c}) = int(c,\mue,{ abs(f)>=c}) <= int( abs(f),\mue,{ abs(f)>=c}) <= int( abs(f),\mue,X) Dann haben wir: c\mue({ abs(f) >=c}) <= int( abs(f),\mue,X) <=> \mue({ abs(f) >=c}) <= 1/c int( abs(f),\mue,X) Ist damit die Ungleichung schon erfüllt?
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Ja das war's tatsächlich schon :)
Normalerweise schreibt man übrigens die Menge über welche integriert wird rechts unten und nicht links unten neben das Integral.
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Hi, aus der Ungleichung schließt man, dass für f integrabel \mue({ abs(f) = \inf})=0 gilt. Kann ich für ''c'' einfach \inf in die Ungleichung einsetzen? Ich hätte dann \mue({ abs(f) = \inf}) = 1/\inf int(abs(f),\mue, X) = 0, da 1/\inf = 0 ist. Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass f fast überall verschwindet mit int(abs(f),\mue, X) = 0. Kannst Du (Ihr) dazu helfen? Danke im Vorfeld. Liebe Grüße Majazakava
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Huhu Majazakava,
einfach $\infty$ einzusetzen ist wohl nicht ganz sauber (obwohl es natürlich der Intuition hilft). Aber Du kannst Dir natürlich überlegen, dass $\mu(\{|f|=\infty\}) \leq \mu(\{|f|\geq C\})$ für alle $C>0$ gilt und dann mit Hilfe der Ungleichung daraus die erste Behauptung herleiten.
Für die zweite Beziehung kannst Du $\mu\geq 0$ ausnutzen und mit Hilfe der Ungleichung somit $\mu(\{|f|\geq \epsilon\})=0$ für alle $\epsilon>0$ herleiten.
lg, AK.
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Wir hatten uns die Ungleichung erstmal nur für (reelle) \(c>0\) überlegt, daher ist das mit dem Einsetzen etwas heikel. Aber die Ungleichung \(c\mu(\{|f|\geq c\})\leq\int_X|f|\,d\mu\) folgt mit der selben Rechnung auch für \(c=\infty\). Wenn nun also \(\int_X|f|\,d\mu<\infty\) ist, dann folgt aus \(\infty\cdot\mu(\{|f|\geq \infty\})<\infty\), dass \(\mu(\{|f|= \infty\})=\mu(\{|f|\geq \infty\})=0\) ist.
Aus \(\int_X|f|\,d\mu=0\) folgt ja mit der Tschebychev-Ungleichung, dass \(\mu(\{|f|\geq c\})=0\) für alle \(c>0\). Dass \(f\) f.ü. verschwindet, bedeutet \(\mu(\{|f|>0\})=0\). Du musst Dir also überlegen, wie aus \(\mu(\{|f|\geq c\})=0\) für alle \(c>0\) folgt, dass \(\mu(\{|f|>0\})=0\) ist.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.6 begonnen.]
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Hi, heißt das dann ich kann c=\inf in c\mue({ \abs(f) >= c}) <0 int( \abs(f),\mue,X) einsetzen? Ich versteh bei deiner Antwort leider nicht, wie Du folgerst, dass \mue({ \abs(f) = \inf}) = \mue({ \abs(f) >= \inf}) = 0 gilt. Zum zweiten Teil: Ist es nicht klar, dass aus \mue({ \abs(f) >= c}) = 0 für alle c > 0 \mue({ \abs(f) > 0}) = 0 folgt? Wenn es für alle c > 0 gilt, muss es ja auch für ''> 0'' gelten, oder? LG Majazakava
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Zum ersten Teil: In der Herleitung von \(c\mu(\{|f|\geq c\})\leq\int_X|f|\,d\mu\) wurde nur die Definition des Integrals einer Indikatorfunktion und die Monotonie des Integrals verwendet, was auch für Funktionen mit Werten in \([0,\infty]\) gilt. Daher kannst Du im Prinzip dort \(c=\infty\) einsetzen. Da \(f\) integrierbar ist, folgt nun, dass \(\mu(\{|f|\geq \infty\})=0\) sein muss (sonst würde links \(\infty\) stehen). \(|f(x)|=\infty\) und \(|f(x)|\geq\infty\) sind natürlich äquivalent (wobei \(|f(x)|\geq\infty\) etwas komisch aussieht wie ich finde, man könnte auch gleich mit \(\{|f|=\infty\}\) arbeiten).
Wichtig ist bei diesen Argumenten vor allem, dass man genau festlegt, welche Regeln beim Rechnen mit \(\infty\) gelten sollen. Ich gehe mal davon aus, dass ihr gewisse Regeln wie etwa \(\infty\cdot 0=0\) und \(\infty\cdot a=\infty\) für \(a>0\) festgelegt habt. Man teilt in der Regel aber nicht durch \(\infty\), so wie Du es ja ursprünglich tun wolltest.
Wenn es Dich stört mit \(\infty\) zu rechnen, kannst Du auch einfach von der Ungleichung \(\mu(\{|f|=\infty\})\leq\mu(\{|f|\geq c\})\leq\frac{1}{c}\int_X|f|\,d\mu\) für alle reellen \(c>0\) ausgehen und \(c\) gegen unendlich gehen lassen. Wegen \(\int_X|f|\,d\mu<\infty\) geht die rechte Seite gegen \(0\) und es folgt \(\mu(\{|f|=\infty\})=0\).
Zum zweiten Teil: Naja was heißt es ist "klar"? Ich würde behaupten, dass der Beweis davon nicht schwierig ist, aber begründen musst Du es trotzdem. Wenn Du es nicht begründen kannst, ist es Dir offenbar auch nicht klar. Es ist an dieser Stelle sogar sehr wichtig, das sauber zu begründen, da die Aussage für endlich additive \(\mu\) im Allgemeinen sogar falsch wäre. Die \(\sigma\)-Additivität von \(\mu\) ist also was Du benötigst.
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