Hallo, ich habe Probleme mit dieser Aufgabe:

Sei (X, S, \mue) ein Maßraum.

Zeige für c > 0 die Tschebychevsche Ungleichung:
\mue({ abs(f) >= c}) <= 1/c int(abs(f),\mue, X)

Hieraus schließt man für f integrabel, dass \mue({ abs(f) = \inf})=0 und dass f fast überall verschwindet, wenn int(abs(f),\mue, X) = 0

Hinweis: c * \chi_({ abs(f) >=c})


Aus dem Skript habe ich für eine messbare Stufenfunktion f mit c_j paarweise verschieden und A_j:=f^(-1)(c_j) \el\ S die Darstellung: f = sum(c_j \chi_(A_j),j=1,k)
Hieraus haben wir das Intergral int(f,\mue, X) := sum(c_j * \mue(A_j), j=1, k). 

Ich weiß nicht, wie ich diese Definition jetzt auf c* \chi_({ abs(f) >= c}) anwenden soll. Könnte ich hierzu einen Ansatz haben?

Ich freue mich auf jede Hilfe.
Danke im Voraus.

Hallo,

soll es dann so aussehen?

Wir integrieren c\chi_({ abs(f)>=c}):
c\mue({ abs(f) >=c}) = int(c,\mue,{ abs(f)>=c}) <= int( abs(f),\mue,{ abs(f)>=c}) <= int( abs(f),\mue,X)

Dann haben wir:
c\mue({ abs(f) >=c}) <= int( abs(f),\mue,X) <=> \mue({ abs(f) >=c}) <= 1/c int( abs(f),\mue,X)

Ist damit die Ungleichung schon erfüllt?

Hi,

aus der Ungleichung schließt man, dass für f integrabel \mue({ abs(f) = \inf})=0 gilt.
Kann ich für ''c'' einfach \inf in die Ungleichung einsetzen? Ich hätte dann \mue({ abs(f) = \inf}) = 1/\inf int(abs(f),\mue, X) = 0, da 1/\inf = 0 ist.

Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass f fast überall verschwindet mit int(abs(f),\mue, X) = 0. 
Kannst Du (Ihr) dazu helfen?

Danke im Vorfeld.
Liebe Grüße Majazakava

Hi,

heißt das dann ich kann c=\inf in c\mue({ \abs(f) >= c}) <0 int( \abs(f),\mue,X) einsetzen?
Ich versteh bei deiner Antwort leider nicht, wie Du folgerst, dass
\mue({ \abs(f) = \inf}) = \mue({ \abs(f) >= \inf}) = 0 gilt.

Zum zweiten Teil:
Ist es nicht klar, dass aus \mue({ \abs(f) >= c}) = 0 für alle c > 0 \mue({ \abs(f) > 0}) = 0 folgt? Wenn es für alle c > 0 gilt, muss es ja auch für ''> 0'' gelten, oder?

LG
Majazakava