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Analysis » Grenzwerte » Gleichung bzgl p-facher messbarer Funktion zeigen
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Universität/Hochschule Gleichung bzgl p-facher messbarer Funktion zeigen
LudwigM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-22 13:15


Hallo,

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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-22 14:01


Hallo LudwigM,

setzt Du \(g_n:=n^p\left(\ln\left(1+\frac{|f|}{n}\right)\right)^p\) und \(g:=|f|^p\), so lautet die zu zeigende Aussage \(\lim_{n\to\infty}\int_Xg_n\,d\mu=\int_Xg\,d\mu\). Bei so einer Aufgabe ist es naheliegend, zu untersuchen ob z.B. \((g_n)\) monoton wachsend gegen \(g\) konvergiert, dann könntest Du nämlich den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden.



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LudwigM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 15:48


Oh tatsächlich. D.h. wir müssen zeigen, dass
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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-22 16:16


Ja genau. Die Messbarkeit der \(g_n\) folgt einfach daraus, dass sie jeweils eine Verkettung von messbaren Funktionen sind, da \(f\) nach Voraussetzung messbar ist und die Abbildung \(n^p\left(\ln\left(1+\frac{|\cdot|}{n}\right)\right)^p\) messbar ist (überlege Dir warum).

Es müsste \(d(g_n(x),g(x))\to0\) für alle \(x\in X\) heißen. Die Metrik ist hier einfach die euklidische Metrik, d.h. die Konvergenz die hier betrachtet werden muss, ist einfach die übliche Konvergenz in den reellen Zahlen.

Es ist also Deine Aufgabe, Dir zu überlegen, warum die Folge \((g_n(x))_{n\in\mathbb{N}}=\left(n^p\left(\ln\left(1+\frac{|f(x)|}{n}\right)\right)^p\right)_{n\in\mathbb{N}}\) für jedes \(x\in X\) monoton wachsend ist und gegen \(g(x)=|f(x)|^p\) konvergiert. Tipp: Es gilt \(g(x)=|f(x)|^p=(\ln(\exp(|f(x)|)))^p\), d.h. es ist sinnvoll, \(g_n(x)\) in der Form \((\ln(...))^p\) zu schreiben.



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LudwigM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 17:58


Okay, bzgl. der punktweisen Konvergenz:

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Bzgl. der steigenden Monotonie:
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Schöne Grüße

   



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-22 18:40


Naja es ist an sich schon mathematisch korrekt, Du solltest es nur besser umgekehrt aufschreiben: Aus \(\left(1+\frac{|f(x)|}{n}\right)^n\to\exp(|f(x)|)\) folgt \(\ln\left(\left(1+\frac{|f(x)|}{n}\right)^n\right)\to\ln(\exp(|f(x)|))\) und damit auch \(g_n(x)=\left(\ln\left(\left(1+\frac{|f(x)|}{n}\right)^n\right)\right)^p\to(\ln(\exp(|f(x)|)))^p=g(x)\), da Logarithmus und \(p\)-te Potenz stetig sind.

Zur Monotonie: Direkt nachzurechnen, dass \((g_n(x))_{n\in\mathbb{N}}\) monoton wachsend ist, ist vielleicht etwas mühsam. Überlege Dir zunächst, dass die Folge \(\left(\left(1+\frac{|f(x)|}{n}\right)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) monoton wachsend ist und verwende dann die Monotonie des Logarithmus und der \(p\)-ten Potenz. Eigentlich sollte Dir das aus der Analysis bekannt sein. Die Konvergenz dieser Folge (welche Du ja schon verwendet hast) wird normalerweise damit begründet, dass sie monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, siehe z.B.



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LudwigM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 19:42


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Somit muss ich noch die Messbarkeit zeigen; die werde ich noch demnächst probieren zu zeigen, schonmal vielen Dank bisher!




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LudwigM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 23:21


Okay, grob bzgl. der Messbarkeit von g_n:

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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-23 00:03


Ja das ist richtig, wobei man vielleicht genauer noch sagen sollte, dass \(n^p\left(\ln\left(1+\frac{|\cdot|}{n}\right)\right)^p\) stetig und damit messbar ist, also noch den Betrag beachten muss.

Die Messbarkeit bezieht sich hier immer auf die Borelsche \(\sigma\)-Algebra, genauer ist \(n^p\left(\ln\left(1+\frac{|\cdot|}{n}\right)\right)^p\colon\mathbb{C}\to[0,\infty)\) messbar bzgl. der Borelschen \(\sigma\)-Algebren auf \(\mathbb{C}\) und \([0,\infty)\). Dies ist ja auch der Grund, dass sie als stetige Funktionen messbar sind, denn die Borelsche \(\sigma\)-Algebra wird von den offenen Mengen bzgl. der euklidischen Topologie erzeugt und der Begriff "Stetigkeit" bezieht sich hier auf eben diese Topologie.

Es ist generell so, dass man immer davon ausgeht, dass \(\mathbb{R},\mathbb{C}\) etc. mit der euklidischen Topologie, der Borelschen \(\sigma\)-Algebra usw. versehen sind, wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird. Das hatten wir ja auch schon bei der punktweisen Konvergenz gesehen.



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-23 01:29


Ja, dann passt es ja bzgl. den Topologien :)

Allerdings hab ich doch noch ein Problem: Wir haben leider nicht gezeigt, dass eine Komposition von messbaren Funktionen wieder messbar ist. Gibt es da vielleicht eine andere Möglichkeit, um die Messbarkeit von g_n zu zeigen, ohne allgemein zu beweisen, dass Kompositionen wieder messbar sind?

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Schöne Grüße
Ludwig
 



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-23 01:45


Du kommst denke ich nicht drum herum, Dir zu überlegen, dass die Verkettung messbarer Funktionen messbar ist. Das ist aber nur ein Einzeiler.

Es macht keinen Sinn von der Stetigkeit von \(f\) zu reden, da \(f\) nur auf einem Maßraum definiert ist, welcher nicht unbedingt eine Topologie tragen muss. Die Messbarkeit reicht Dir ja aber auch völlig. Du hast bei den anderen Funktionen nur die Stetigkeit benutzt, um die Messbarkeit zu begründen.



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LudwigM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 12:12


Gut! Ich tue mich letztendlich an noch einer Sache schwer.

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Schöne Grüße,
Ludwig



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-23 17:05


Es gibt bestimmt viele Möglichkeiten, die Monotonie dieser Folge zu beweisen, da solltest Du nochmal in ein paar Analysis 1 Bücher schauen oder das Internet durchforsten. Im Buch von Amann und Escher wird z.B. so wie Du es willst \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq1\) gezeigt (zumindest für den Fall \(x=1\)), indem die Bernoullische Ungleichung verwendet wird.

Die wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit ist, die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel zu benutzen. Dies wird in dem Wikipedia-Artikel getan, den ich bereits verlinkt hatte:

Eine andere Möglichkeit (die aber einer längeren Rechnung bedarf) wäre, den Binomischen Lehrsatz zu verwenden. Das haben wir vor kurzem als Frage im Forum gehabt (für den Fall \(x=1\)), siehe LinkBeweis Konvergenz gegen e



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