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Kein bestimmter Bereich ** Moriarty 1
Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-23


Sei $\displaystyle a_n+\ln(a_n)=1+\frac{1}{n}$ für alle natürlichen Zahlen $\displaystyle n>0$.
Bestimme den Grenzwert $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(a_n-1)$.

Lösungen bitte nur mit Rechenweg und PN bis Montag, 14. Dezember 2020. Viel Freude!

Grüße Squire

Rahmenerzählung:
Link* Advent 2020 Der entführte Professor



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-15


Guten Morgen und Gratulation an

MartinN
Wally
MontyPythagoras
Wrdlprmpfd
Wauzi

Mein Lösungsvorschlag:


(a) Es gilt $a_n+\ln{a_n}=1+\frac{1}{n}>1$. Für $a_n<1$ ergäbe sich $a_n+\ln{a_n}<a_n<1$ im Widerspruch dazu.
Daher: $1≤a_n≤a_n+\ln{a_n}=1+\frac{1}{n}$ und nach dem Einschließungskriterium $\lim_{n \to \infty}a_n=1$.
 
(b) Wir setzen $b_n=a_n-1$ ($b_n$ ist somit eine Nullfolge) und erhalten
$a_n+\ln{a_n}=1+\frac{1}{n}⇒nb_n+n\ln⁡(1+b_n)=1⇒nb_n(1+\frac{\ln⁡(1+b_n)}{b_n} )=1⇒$
$⇒nb_n=\frac{1}{1+\frac{\ln⁡(1+b_n)}{b_n}}$ und somit
$\lim_{n \to \infty}⁡n(a_n-1)=\lim_{n \to \infty}⁡nb_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\ln⁡(1+b_n)}{b_n}}=\frac{1}{2}$
 



Weitere Lösungen zu Moriarty 1 dürfen ab sofort hier gepostet werden!

Grüße Squire




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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-15


Huhu,


Aus \(\displaystyle a_n+\ln(a_n)=1+\frac{1}{n}\) folgt \(\displaystyle \exp(a_n+\ln(a_n))=\exp\left(1+\frac{1}{n}\right)\) und somit \(a_n\exp(a_n)= \exp\left(1+\frac{1}{n}\right)\). Also \(a_n=W_0\left( \exp\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\). Damit ergibt sich für den Grenzwert:

\(\displaystyle \mathscr{L}=\lim_{n \to \infty} n(a_n-1)=\lim_{n \to \infty} n\left(W_0\left( \exp\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)-1\right)\stackrel{1/n=:h}{=}\lim_{h \to 0}=\frac{W_0\left( \exp\left(1+h\right)\right)-1}{h}=\left(W_0(\exp(x))\right)'_{x=1}\)

Mit \(W_0'(x)=\frac{W_0(x)}{x(1+W_0(x))}\) folgt \(W_0'(\exp(x))=\frac{W_0(\exp(x))}{\exp(x)(1+W_0(\exp(x))}\exp(x)=\frac{W_0(\exp(x))}{(1+W_0(\exp(x))}\) und somit \(\mathscr{L}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)


Gruß,

Küstenkind



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-15


Ich weiß nicht mehr genau, wie meine Lösung ging, aber glaube etwa so:

Sei: \(a_n = b_n+1\)
Dann ist gesucht:
\(\lim\limits_{n \to \infty} n \cdot b_n\)
mit:
\(b_n + 1 + \ln(b_n + 1) = 1 + \frac{1}{n}\\
\to b_n + b_n \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-b_n)^i}{i}  = \frac{1}{n}\\
\to 1 + 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-b_n)^i}{i} = \frac{1}{n \cdot b_n}\)
Die linke Seite konvergiert offensichtlich gegen 2, da \(b_n\) gegen Null konvergieren muss. Somit: \(\lim\limits_{n \to \infty} n \cdot b_n = \frac{1}{2}\)




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