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Analysis » Folgen und Reihen » Eine Abschätzung auf dem Weg zum Cauchykriterium
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Universität/Hochschule J Eine Abschätzung auf dem Weg zum Cauchykriterium
robytoby61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-23


Hallo Zusammen, ich habe folgende Problemstellung:
fed-Code einblenden

Ich habe die Definition jeweils für a_n und a_m eingesetzt und durch Zusammenfassen auf einen grünen Zweig zu kommen. Das führte leider zu nichts und ich hab mich etwas verrannt. Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Liebe Grüße Tobi



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-23


Hallo,

versuche den Mittelwertsatz anzuwenden.



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robytoby61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Hallo Nuramon, meinst du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Den darf ich noch nicht anwenden



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23


Ja, den meinte ich.

Wenn du ihn nicht verwenden darfst, dann musst du halt von Hand nachrechnen, was aber auch nicht weiter schwierig ist. Zeige mal deine Rechnung.



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Phi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-23


Hi!

Betrachte die Differenz $a_{n+1}-a_{m+1}=\dots$ mit $n\ge m$. Dann einfach Zähler und Nenner ausrechnen und für den Nenner beachten, dass du $a_n\ge 1$ schon gezeigt hast und überlegen wie man $a_n*a_m$ abschätzt.

MfG


-----------------
Die Zahl, des Geistes höchste Kraft.
[Aischylos]

Zehn mal zehn ist hundert;
Folgen unabsehbar.
[Thornton Wilder]

Die Maplehilfe ist dein Freund! :)



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robytoby61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Okay ja ich habe also die Definition von a_n jeweils eingesetzt :
fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Edit: Nachdem ich das getippt hab, hab ich deine Nachricht gelesen, das ist doch eigentlich das oder? LG Tobi



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Die Umformungen sind richtig, deine letzte Abschätzung aber nicht:
Es gilt nur $|\frac 1{a_{n-1}a_{m-1}}| \leq 1$ nicht $\leq \frac 14$.

Mit einer ähnlichen Abschätzung ein paar Zeilen vorher klappt es aber.
\(\endgroup\)


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robytoby61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Entschuldige aber ich sehe es nicht an welcher Stelle ich das 1/4 noch reinbekommen könnte.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Also am Ende deiner Gleichungskette passt der Zähler ja schon. Daher musst du wohl den Nenner abschätzen. Insgesamt soll eine obere Schranke herauskommen, also brauchst du eine untere Schranke für den Nenner. Dazu musst du nur ein paar mal $a_i\geq 1$ anwenden.
\(\endgroup\)


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robytoby61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Ich glaube ich sehs jetzt. Da ja oben 1<= a_n für alle n kann ich unten sagen fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Dann hat es sich. Bin ich jetzt richtig? LG und danke für die Geduld



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ist richtig. Übrigens wird die Rechnung etwas handlicher, wenn du $a_n = 1+\frac 1{1+a_{n-1}}$ benutzt. Das Ausmultiplizieren des Nenners ist auch nicht notwendig.
\(\endgroup\)


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robytoby61
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Okay Dankeschön. Schönen Abend noch 😃



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