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Autor |
Jegliche Funktion f:X->C ist Dirac-messbar |
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LudwigM
Junior  Dabei seit: 22.11.2020 Mitteilungen: 14
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Hallo,
 
\ Gegeben sei das Dirac Maß \delta : P(X) ->{0,1},\delta_x' (A) = 1_A (x'). Ich soll nach maßtheoretischer Induktion zeigen, dass jegliche Funktion f: X->\IC integrierbar ist bzgl. dem Maß und das Integral \int(f,\delta_x',X) berechnen. Mein Ansatz: 1. f=1_A ist eine beliebige, messbare Indikatorfunktion. Dann ist \int(f,\delta_x',X) = \int(1_A,\delta_x',X) = \delta_x'(A) = 1_A(x') = 1, falls x' \in A, sonst 0. Somit endlich und damit integrierbar. 2. f= sum(a_i 1_(A_i),i=1,m) ist eine beliebige, positiv messbare Stufenfunktion mit a_i \in [0,\inf[ und union(A_i,i=1,m) =X mit A_i paarweise disjunkt. Dann ist \int(f,\delta_x',X) = \int(sum(a_i 1_(A_i),i=1,m),\delta_x',X) = = sum(a_i \delta_x'(A_i), i=1, m) = sum(a_i 1_(A_i)(x'), i=1, m) = a_j, wobei x' \in A_j, denn A_i sind paarweise disjunkt. Somit endlich und damit ebenfalls integrierbar (f ist positiv!) 3. f:X->[0,oo] ist eine positiv, messbare Funktion. Daher gibt es eine monoton steigende Funktionenfolge (f_n) mit positiven, messbaren Stufenfunktionen mit 0<=f_n (x) <=f_(n+1) (x) -> f. Diese sind alle integrierbar, wie wir in 2. gezeigt haben. Und es gilt: \int(f,\delta_x',X) = \lim(n->\inf, \int(f_n,\delta_x',X)) = ?
Ich komm nicht weiter - was kann man hier tun? Und ist alles bisher logisch? Oder hab ich Fehler gemacht?
Schöne Grüße,
Ludwig
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 1887
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24
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Mach dir zunächst klar, dass du deine Ergebnisse zu 1. und 2. auch als $\int_Xf\,\mathrm d\delta_{x'}=f(x')$ schreiben kannst.
Bei 3. erhältst du dann $\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\,\mathrm d\delta_{x'}=\lim_{n\to\infty}f_n(x')$, und diesen Grenzwert solltest du angeben können.
--zippy
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LudwigM
Junior  Dabei seit: 22.11.2020 Mitteilungen: 14
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24
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\ Ah, bzgl. 1. : Ich habe ja f(x) = 1_A(x) definiert, und beim Integral kam 1_A(x') raus, was dasselbe ist wie f(x'). Und diese ist endlich da 1_A(x) = 1 oder = 0. Bzgl 2.: Ebenfalls hab ich f(x) = sum(a_i 1_(A_i)(x), i=1,m) definiert und beim Integrieren kam sum(a_i 1_(A_i) (x'), i=1,m) raus, womit auch f(x') das Ergebnis ist. Aber wie kann ich davon ausgehen, dass f(x') endlich ist? Bzgl. 3.: Für das Integral von f_n (x) kommt nach 2. f_n (x') raus. Somit ist das \int(f,\delta_x',X) = lim(n->\inf,f_n(x')) = f(x'), weil ich das so vorhin definiert habe. Selbes Problem hier - wie zeige ich, dass f(x') endlich ist?
Außerdem hab ich "1." noch nirgends benutzt - wie bringe ich das ein?
Oder sagt 1. nichts anderes, als dass f(x') IMMER 1 oder 0 ist und somit endlich ist? Das würde ich dann noch nicht ganz verstehen, da das eigt. nur für f = Indikatorfunktion gilt.
Schöne Grüße,
Ludwig
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PhysikRabe
Senior  Dabei seit: 21.12.2009 Mitteilungen: 2284
Herkunft: Wien / Leipzig
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24
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Das ist doch eine Summe mit endlich vielen Summanden, die wegen 1. endlich sind. (Das beantwortet auch deine Frage, wo 1. benutzt wird.) Außerdem war die Summe doch eines der $a_j <\infty$...
[Edit: hier habe ich mich verlesen und daher Blödsinn geschrieben... siehe zippys Antwort unten 🙃 ]
Grüße,
PhysikRabe
----------------- "Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 1887
 |     Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-24
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Du hast doch schon gezeigt, dass sich dieses Ergebnis als $\alpha_i$ mit dem passenden $i$ schreiben lässt, und alle deine $\alpha_i$ sind $<\infty$.
Nicht für jedes $f\colon X\to[0,\infty]$ ist $f(x')<\infty$. Aber das muss es auch gar nicht sein, denn am Ende willst du doch nur für Funktionen $X\to\mathbb C$ (also für Funktionen, die "nirgendwo unendlich werden") zeigen, dass sie integrabel sind.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.3 begonnen.]
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-24
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\ Im Prinzip könnte man bzgl. 2. auch sagen, dass f(x')\in [0,\inf[, (Stufenfunktion muss diesen Wertebereich haben), also so oder so endlich ist, oder? Dann braucht man ja 1. so gut wie gar nicht. Dementsprechend ist für die positiv-messbare Funktion der Wertebereich [0,\inf], sprich, es ist nicht immer integrierbar, wie du schon sagtest. Aber soll in \IC nicht {+-\inf} enthalten sein? Sonst würde die Definition von Integrierbarkeit mit f:X->\IC keinen Sinn machen mit \int(abs(f),\mu,X) <\inf <-> \mu-integrierbar oder anders gesagt: f:X->[0,\inf] \notsubset \IC, womit ich die Definition hier nicht mal anwenden dürfte. Man kann also Funktionen dieser Art nicht auf Integrierbarkeit untersuchen. Nun 4. f:X->\IC ist eine beliebige, messbare Funktion: Dann gilt: \int(f,\delta_x',X) = \int(Re(f)_+,\delta_x',X)-\int(Re(f)_(-),\delta_x',X) + i \int(Im(f)_+,\delta_x',X) - i \int(Im(f)_(-),\delta_x',X). Jedes dieser Integrale ist eine positiv-messbare Funktion. D.h. \int(f,\delta_x',X) = Re(f(x'))_(+) - Re(f(x'))_(-) + i Im(f(x'))_(+) - i Im(f(x'))_(-), wobei hier ein Re-Term und ein Im-Term jeweils 0 ergeben, je nachdem ob Re(f(x')) bzw. Im(f(x')) positiv oder negativ ist. Falls in \IC {+-\inf} nicht enthalten ist (was mich verwirren würde), so ist das gesamte Integral endlich und damit integrierbar...
Es sind hier die kleinen Details, die mir Schwierigkeiten machen.
Schöne Grüße,
Ludwig
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 1887
 |     Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-24
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Was $\mathbb C$ ist, ist ja klar definert, und darin gibt es keine Elemente $\pm\infty$.
Wir haben also die folgenden Kriterien für die Integrierbarkeit bezüglich $\delta_{x'}$:
* $f\colon X\to[0,\infty]$ ist integrierbar $\iff$ $f(x')<\infty$
* $f\colon X\to\overline{\mathbb R}$ ist integrierbar $\iff$ $|f(x')|<\infty$
* $f\colon X\to\mathbb R$ ist immer integrierbar
* $f\colon X\to\mathbb C$ ist immer integrierbar
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