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Gegeben sei das Dirac Maß \delta : P(X) ->{0,1},\delta_x' (A) = 1_A (x'). Ich soll nach maßtheoretischer Induktion zeigen, dass jegliche Funktion f: X->\IC integrierbar ist bzgl. dem Maß und das Integral \int(f,\delta_x',X) berechnen. Mein Ansatz:

1. f=1_A ist eine beliebige, messbare Indikatorfunktion. 
Dann ist \int(f,\delta_x',X) = \int(1_A,\delta_x',X) = \delta_x'(A) = 1_A(x') = 1, falls x' \in A, sonst 0. Somit endlich und damit integrierbar.

2. f= sum(a_i 1_(A_i),i=1,m) ist eine beliebige, positiv messbare Stufenfunktion mit a_i \in [0,\inf[ und union(A_i,i=1,m) =X mit A_i paarweise disjunkt.

Dann ist \int(f,\delta_x',X) = \int(sum(a_i 1_(A_i),i=1,m),\delta_x',X) =
= sum(a_i \delta_x'(A_i), i=1, m) = sum(a_i 1_(A_i)(x'), i=1, m) = a_j, wobei x' \in A_j, denn A_i sind paarweise disjunkt. Somit endlich und damit ebenfalls integrierbar (f ist positiv!)

3. f:X->[0,oo] ist eine positiv, messbare Funktion. Daher gibt es eine monoton steigende Funktionenfolge (f_n) mit positiven, messbaren Stufenfunktionen mit 0<=f_n (x) <=f_(n+1) (x) -> f. Diese sind alle integrierbar, wie wir in 2. gezeigt haben. Und es gilt:

\int(f,\delta_x',X) = \lim(n->\inf, \int(f_n,\delta_x',X)) = ?

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Ah, bzgl. 1. :
Ich habe ja f(x) = 1_A(x) definiert, und beim Integral kam 1_A(x') raus, was dasselbe ist wie f(x'). Und diese ist endlich da 1_A(x) = 1 oder = 0.

Bzgl 2.:
Ebenfalls hab ich f(x) = sum(a_i 1_(A_i)(x), i=1,m) definiert und beim Integrieren kam sum(a_i 1_(A_i) (x'), i=1,m) raus, womit auch f(x') das Ergebnis ist. Aber wie kann ich davon ausgehen, dass f(x') endlich ist? 

Bzgl. 3.: Für das Integral von f_n (x) kommt nach 2. f_n (x') raus. Somit ist das \int(f,\delta_x',X) = lim(n->\inf,f_n(x')) = f(x'), weil ich das so vorhin definiert habe. Selbes Problem hier - wie zeige ich, dass f(x') endlich ist?

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Im Prinzip könnte man bzgl. 2. auch sagen, dass f(x')\in [0,\inf[, (Stufenfunktion muss diesen Wertebereich haben), also so oder so endlich ist, oder? Dann braucht man ja 1. so gut wie gar nicht. 
Dementsprechend ist für die positiv-messbare Funktion der Wertebereich [0,\inf], sprich, es ist nicht immer integrierbar, wie du schon sagtest.

Aber soll in \IC nicht {+-\inf} enthalten sein? Sonst würde die Definition von Integrierbarkeit mit f:X->\IC keinen Sinn machen mit \int(abs(f),\mu,X) <\inf <-> \mu-integrierbar oder anders gesagt: f:X->[0,\inf] \notsubset \IC, womit ich die Definition hier nicht mal anwenden dürfte. Man kann also Funktionen dieser Art nicht auf Integrierbarkeit untersuchen.

Nun 4. f:X->\IC ist eine beliebige, messbare Funktion:

Dann gilt: \int(f,\delta_x',X) = \int(Re(f)_+,\delta_x',X)-\int(Re(f)_(-),\delta_x',X) + i \int(Im(f)_+,\delta_x',X) - i \int(Im(f)_(-),\delta_x',X).

Jedes dieser Integrale ist eine positiv-messbare Funktion. D.h. 
\int(f,\delta_x',X) = Re(f(x'))_(+) - Re(f(x'))_(-) + i Im(f(x'))_(+) - i Im(f(x'))_(-), wobei hier ein Re-Term und ein Im-Term jeweils 0 ergeben, je nachdem ob Re(f(x')) bzw. Im(f(x')) positiv oder negativ ist. 

Falls in \IC {+-\inf} nicht enthalten ist (was mich verwirren würde), so ist das gesamte Integral endlich und damit integrierbar...