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Universität/Hochschule J Zahlensysteme
Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Guten Tage meine Frage wäre folgende, wenn ich eine Zahl x im Dualsystem als Dualbruch gegeben habe, dann hat sie ja die Form:

x= a(l)*2^l + a(l-1)*2^l-1+.....+a(0)*2^0 , a(-1)*2^-1+ ....+a(-k)*2^-k

nun ist es aber ganz logisch (und in konkreten Beispielen leicht umsetzbar), dass es dann auch eine Darstellung der Form:

x=c/2^k geben muss mit c eine ganze Zahl und k eine ganze Zahl (eigentlich muss k sogar eine Natürliche Zahl oder 0 sein oder ?). Meine Frage wäre wie ich das im allgemeinen beweisen kann, dass das immer geht und wenn ich eine Zahl x=c/2^k gegeben habe, wie kann ich beweisen, dass das ein endlicher Dualbruch ist bzw. wovon hängt das ab ob das wirklich endlich ist.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

wenn es nur um den Bruch \(\frac{c}{2^k}\) geht, dann ist doch nichts weiter zu tun als c als Dualzahl darzustellen und dann zu rechnen?...

Generell ist es so: wenn der Teiler eines Bruchs aus den gleichen Primfaktoren zusammengesetzt ist wie die Basis des betrachteten Stellenwertsystems, dann wird der Bruch abbrechen, sonst wird er periodisch.

Daher haben alle Brüche der Form

\[\frac{c}{2^m5^n}\]
mit \(c\in\IZ\) und \(m,n\in\IN\) eine abbrechende Dezimalbruchdarstellung.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


hey vielen Dank für deine Antwort. Worum es mir eigentlich geht ist folgender Satz: Jeder endliche Dualbruch ist auch ein endlicher Dezimalbruch.

1) Frage wenn x ein Dualbruch ist warum hat x dann die Form x=c/2^k (mir ist klar wie ich das in konkreten Fällen umrechnen kann, aber wie zeige ich das allgemein ?

Wenn ich das wüsste so wüsste ich x=c/2^k = (5^k * c)/10^k

2 Frage) Wenn ich es richtig verstehe, dann müsste das ein abbrechender Dezimalbruch sein, denn 10^k hat die selben Primfaktoren wie 10, meine Frage wäre nun wie man das zeigen kann ?

Vielen Dank für Deine Hilfe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-24 13:13 - Student10023 in Beitrag No. 2 schreibt:
Worum es mir eigentlich geht ist folgender Satz: Jeder endliche Dualbruch ist auch ein endlicher Dezimalbruch.

Ja, so etwas in diese Richtung hat mir meine Kristallkugel ja auch schon angezeigt. 😉

2020-11-24 13:13 - Student10023 in Beitrag No. 2 schreibt:
1) Frage wenn x ein Dualbruch ist warum hat x dann die Form x=c/2^k (mir ist klar wie ich das in konkreten Fällen umrechnen kann, aber wie zeige ich das allgemein ?

Das ist wohl die falsche Frage. Es geht doch schon aus meiner vorigen Antwort hervor, dass für \(k\in\IN\) der Bruch \(\frac{c}{2^k}\) ein endlicher bzw. abbrechender Dualbruch ist. Gründe siehe Beitrag #1. Also nochmal konkret: genau alle endlichen Dualbrüche sind von dieser Form.

2020-11-24 13:13 - Student10023 in Beitrag No. 2 schreibt:
2 Frage) Wenn ich es richtig verstehe, dann müsste das ein abbrechender Dezimalbruch sein, denn 10^k hat die selben Primfaktoren wie 10, meine Frage wäre nun wie man das zeigen kann ?

Viel einfacher: da \(10=2\cdot 5\) ist jeder Bruch der Form \(\frac{c}{2^k}\) auch ein abbrechender Dezimalbruch.

Bevor ich etwas zu einem Beweis sage: um was geht es hier, ist das eine Aufgabe im Rahmen einer Numerik-Veranstaltung? Dann bitte den kompletten Aufgabentext im Originalwortlaut posten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Ja es ist eine Aufgabe in Computerorientierte Mathematik 1:

"Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) Jeder endliche Dualbruch ist auch ein endlicher Dezimalbruch.
b) Jeder endliche Dezimalbruch ist auch ein endlicher Dualbruch."

b) ist mir volkommen klar. Ich weiß nicht genau ob es bei a) wirklich von der Aufgabe gefordert wird aber mich würde jetzt schon interessieren warum genau alle abbrechenden Dualbrüche diese Form haben (Du hast zwar schon ein bisschen was dazu gesagt, aber ganz klar ist es mir nicht).

Wenn ich nicht falsch liege muss man dazu zeigen, dass ein beliebiger abbrechnder Dezimalbruch diese Form hat und und dass jede Zahl mit dieser Form abbrechend ist. (Zweiteres ist wohl auf die Primfaktoren zurückzuführen, wie du gesagt hast aber warum genau?)

Vielen Dank für Deine Hilfe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-24 13:57 - Student10023 in Beitrag No. 4 schreibt:
"Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) Jeder endliche Dualbruch ist auch ein endlicher Dezimalbruch.
b) Jeder endliche Dezimalbruch ist auch ein endlicher Dualbruch."

Ok. Für die Zukunft: poste so etwas am besten immer gleich im Themenstart zusammen mit deiner Ausgangsfrage.

2020-11-24 13:57 - Student10023 in Beitrag No. 4 schreibt:
b) ist mir volkommen klar.

Da wäre jetzt schön gewesen, wenn du noch dazugeschrieben hättest, was dir da genau klar ist (hier versagt meine Kristallkugel...). Probiere zur Sicherheit, den Bruch \(1/5\) als Dualbruch darzustellen.

2020-11-24 13:57 - Student10023 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich weiß nicht genau ob es bei a) wirklich von der Aufgabe gefordert wird aber mich würde jetzt schon interessieren warum genau alle abbrechenden Dualbrüche diese Form haben (Du hast zwar schon ein bisschen was dazu gesagt, aber ganz klar ist es mir nicht).

Klar ist es gefordert. Du sollst ja etwas beweisen.

2020-11-24 13:57 - Student10023 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ich nicht falsch liege muss man dazu zeigen, dass ein beliebiger abbrechnder Dezimalbruch diese Form hat und und dass jede Zahl mit dieser Form abbrechend ist. (Zweiteres ist wohl auf die Primfaktoren zurückzuführen, wie du gesagt hast aber warum genau?)

Also der Beweis läuft im wesentlichen folgendermaßen ab (und ist damit sehr einfach): genau dann, wenn man einen Bruch so eweitern kann, dass in seinem Nenner eine Potenz der Basis des Stellenwertsystems steht, ist die Darstellung als Kommazahl endlich bzw. abbrechend. Im wesentlichen musst du also einfach dafür die Voraussetzungen erkennen und formulieren. Und da kommt die Primfaktorzerlegung der Basis ins Spiel.

Insbesondere kann man sich das Leben hier einfacher machen, wenn man den Sachverhalt im Zuge von Aufgabenteil a) beweist und den Fall b) darauf zuruckführt.


Gruß, Diophant
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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


zu b) tatsächlich hatte ich einfach ein paar Zahlen ausprobiert und bei 1/5 hatte ich gemerkt 1/5 ist im Dualsystem 1/101 und wenn man das schriftlich dividiert kommt 0,periode(0011) raus also ist das ein unendlicher Bruch.

Zu a meine Idee jetzt:

wenn ich im Dualsystem eine Zahl n habe, die abbricht dann hat sie die Form:

n= 0, n1n2...nk (falls vor der dem KOmma keine 0 ist geht das analog, aber so ist es weniger zu schreiben), = n1*2^-1......nk*2^-k

d.h n=1* (n1^-1+.....+nk*2^-k) = 2^k/2^k *( gleiche Klammer wie vorhin)

=1/2^L * (n1^k-1+ .....+nk^k-k) und da die Klammer eine natürliche Zahl sein muss, habe ich die gewünschte Form, d.h ich habe doch eig. gezeigt, wenn n ein Dualbruch ist so hat n die Form: n= c/2^k und ganz analog geht das wahrscheinlich im Zehnersystem. Ist damit nicht eigentlich alles gezeigt ? Falls ja (bzw auch nein) wo habe ich hier die Primfaktorzerlegung benutzt ?

Vielen Dank für deine HIlfe !



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Hallo,

ganz erhlich, das kann man so nicht entziffern. Könnst du auf \(\LaTeX\) oder den hauseigenen Formeleditor umsteigen?

Grundsätzlich ist dein Ansatz von der falschen Seite her aufgezogen. Ein Bruch ist ja letztendlich immer eine Division zweier ganzer Zahlen. Jede ganze Zahl lässt sich im Dualsystem darstellen als Summe

\[\sum_{k=0}^n a_k\cdot 2^k=:a_n a_{n-1}\dotsc a_0\quad \text{mit}\ a_k\in\lbrace 0,1\rbrace\]
Jetzt musst du einfach berücksichtigen, dass die Basis hier selbst eine Primzahl ist. Also erübrigt sich diese Frage schon einmal:

2020-11-24 16:25 - Student10023 in Beitrag No. 6 schreibt:
...wo habe ich hier die Primfaktorzerlegung benutzt ? ...

Die Basis ist hier wie gesagt gleich ihrer Primfaktorzerlegung. Im Dezimalsystem ist das nicht so.

Was passiert denn nun, wenn wir einen Bruch der Form \(c/2^k\) betrachten? Schauen wir einmal:

\[\frac{c}{2^k}=\frac{\ds\sum_{j=0}^n a_j\cdot 2^j}{2^k}\]
Betrachten wir einmal o.B.d.A. den Fall \(n<k\). Was passiert hier, warum wird die Darstellung als Kommazahl in diesem Fall abrechen?


Gruß, Diophant



 
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