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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Linksinverse
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Universität/Hochschule J Linksinverse
sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hallo zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei g: M -> N eine injektive Abbildung zwischen endlichen Mengen M und N mit m:= Kardinalität M <= n:= Kardinalität N.
Wie viele Linksinverse hat g ?

Mein Ansatz:
Als erstes habe ich n Möglichkeiten für die Wahl von m.
Dann ist das erste ausgewählte Element belegt und mir bleiben (n-1) Möglichkeiten... usw.
n(n-1)...(n-m+1)

Ich freue mich über Tipps jeglicher Art!
Danke!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

Ich glaube du versuchst die Anzahl aller injektiven Abbildungen $M\to N$ zu bestimmen, was aber nicht gefragt ist.

$g$, $m$ und $n$ sind fest vorgegeben, da hast du also gar keine Wahl.

Überlege dir stattdessen für jedes $x\in N$ welche Werte $h(x)\in M$ ein Linksinverses $h$ zu $g$ annehmen kann. Tipp: Es gibt zwei Fälle.



[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Nuramon]
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Vielen Dank für deine Hilfe!

Jedes n kann m Werte annehmen, aber weiter komme ich irgendwie gerade nicht



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24


Was ist denn die Definition einer Linksinversen?



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Eine Linksinverse ist Abbildung von h:Y->X mit h verkettet f= idx



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Wenn du nicht weiterkommst, aber die Definitionen verstanden hast, dann betrachte am besten mal ein Beispiel:

Sei $M=\{1,2\}$ und $N=\{1,2,3\}$ und $g:M\to N, 1\mapsto 1, 2\mapsto 2$. Wie viele Linksinverse hat $g$ in diesem Fall?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


*eine

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


ok, wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist ein Linksinverses wiederum 1->1 und das andere 2->2



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Eine Linksinverse der Abbildung $g:M\to N$ ist eine Abbildung $h:N\to M$ mit $h\circ g = \id_M$.

Schreibe aus, was die Gleichung $h\circ g = \id_M$ bedeutet: Für jedes $x\in ?$ gilt ...

2020-11-24 16:05 - sina1357 in Beitrag No. 7 schreibt:
ok, wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist ein Linksinverses wiederum 1->1 und das andere 2->2
1->1 ist keine Abbildung.
Um eine Abbildung $N\to M$ anzugeben, musst du für jedes Element von $N$ den Funktionswert angeben.
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Also, wenn ich h und g verkette und die Identität erhalten will, muss folgendes gelten:
h(g(x))=h(g(1))=h(1)=1
h(g(x))=h(g(2))=h(2)=2
Also h(1)=1 und h(2)=2, aber was mache ich mit der 3?



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Oder ist h(1)=1 und h(2)=2 dann meine Linksinverse?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Gut. In dem Beispiel ist eine Abbildung $h:N\to M$ genau dann eine Linksinverse zu $g$, wenn $h(1)=1$ und $h(2)=2$ gilt. (Über $h(3)$ wird keine Aussage getroffen.)

Kannst du alle Abbildungen $h:N\to M$ angeben, die diese Bedingungen erfüllen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Ich glaube, ich stehe gerade auf dem Schlauch.. ich sehe nämlich nur die eine Möglichkeit



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Was meinst du mit nur einer Möglichkeit? Bisher hast du gar keine angegeben.

Um eine Abbildung $h:N\to M$ anzugeben, musst du für jedes $n\in N$ angeben, was $h(n)$ sein soll. In dem Beispiel musst du also $h(1),h(2)$ und $h(3)$ angeben.

Damit $h$ linksinvers zu $g$ ist, muss $h(1)=1$ und $h(2)=2$ gelten. Wie viele Möglichkeiten gibt es $h(3)$ zu definieren?
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Ah, ok für h(3) kann ich entweder h(3)=1 oder h(3)=2 wählen



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sina1357
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Dann gibt es zwei mögliche Linksinverse.




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Nuramon
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Ja.



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Wäre eine Verallgemeinerung dann (n-m)*m


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-11-24


Ich habe keine Lust auf Rateversuche einzugehen.



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Schon einmal vielen Dank für deine Hilfe.
Die Verallgemeinerung habe ich mir so hergeleitet:
(n-m) für die Elemente, für die ich keine Auswahlmöglichkeit habe
dieses dann multipliziert mit m, da ich so die Elemente mit Auswahlmöglichkeit abdecke



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Nuramon
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Der Ansatz ist gut, die Formel falsch.



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sina1357
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Wenn ich für mehrere Elemente Auswahlmöglichkeiten habe, muss ich n! berechnen,
z.B. {1,2}->{1,2,3,4} mit f(1)=1 und f(2)=2
Für das Linksinverse ergibt sich {1,2,3,4}->{1,2}:
h(1)=1 und h(2)=2
und weiter
- h(3)=1 h(4)=1
- h(3)=1 und h(4)=2
- h(3)=2 und h(4)=1
- h(3)=2 und h(4)=2
somit 4 Linksinverse

Mit der Verallgemeinerung: (n-m)n! ergibt sich (4-2)*2!=2*2=4



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Auch die Formel stimmt nicht allgemein.

Überlege dir folgendes: Wenn $X,Y$ endliche Mengen sind. Wie viele Abbildungen $X\to Y$ gibt es dann?
\(\endgroup\)


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sina1357
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Muss ich in diesem Fall mit dem Kartesischen Produkt argumentieren?
Stimmt denn der Ansatz für (n-m) oder habe ich einen Denkfehler dadrin?



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sina1357
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Wenn X,Y endliche Mengen sind, muss es m^n Abbildungen geben



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

deine Fragen sind sprachlich missverständlich formuliert.

Soweit bist du ja offensichtlich gekommen: es gibt \(n-m\) Elemente in \(N\), die nicht von \(g\) getroffen werden. Ein Linksinverses von \(g\) kann jedem dieser Elemente ein beliebiges Element aus \(M\) zuordnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür (wie viele Elemente hat \(M\))?

Falls du dich mit elementarer Kombinatorik auskennst: das ist ein Variationsproblem.

Nachtrag: mit deinem Beitrag #24 bist du jetzt auf dem richtigen Weg.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-11-24 17:31 - sina1357 in Beitrag No. 24 schreibt:
Wenn X,Y endliche Mengen sind, muss es m^n Abbildungen geben
Je nachdem, was du hier mit $m$ bzw. $n$ meinst, kann das sowohl richtig als auch falsch sein.
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Also wenn f:M->N gilt dann müsste es m^(n-m) Möglichkeiten geben



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Da deine Formulierungen unpräzise sind und du die Notationen von mehreren Beispielen miteinander vermischt, wäre es gut, wenn du noch einmal klar aufschreibst, was du gerade behauptest.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,

2020-11-24 17:55 - sina1357 in Beitrag No. 27 schreibt:
Also wenn f:M->N gilt dann müsste es m^(n-m) Möglichkeiten geben

noch nicht wirklich. Das Problem daran: die Linksinverse bildet von \(N\) nach \(M\) ab.

Nachtrag: aber das Resultat stimmt.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sina1357
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Dann müsste ich die Positionen von m und n vertauschen..



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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-24 18:12 - sina1357 in Beitrag No. 30 schreibt:
Dann müsste ich die Positionen von m und n vertauschen..

nein, sondern sauber formulieren. Dein Resultat ist richtig, aber das mit der Abbildung von \(M\) nach \(N\) ist die falsche Begründung. Zumindest kann ich es nur so verstehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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sina1357
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Ok, vielen Dank für eure Hilfe



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