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 Restklassenring Einheit und Nullteiler |
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EuskiPeuski712
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24
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Hallo,
ist dir bewusst, dass $m$ genau dann eine Einheit in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist, wenn es $a,b\in \mathbb{Z}$ mit $am+bn=1$ gibt? Warum?
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EuskiPeuski712
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24
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2020-11-24 16:40 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2 schreibt:
Einheit in dem Fall heißt doch, dass gelten muss:
  
m*x=1_R Wobei m,x\el\ R. Und da 1_R=1+n\IZ ist, wäre nach meinem Verständnis dann: m*x=(m*x)+n\IZ=1+n\IZ
Macht das Sinn ?
Es ist vielleicht ein bisschen merkürdig aufgeschrieben.
$\overline{m}$ heißt Einheit in $\mathbb Z/n\mathbb Z$, wenn es ein $\overline{a}\in \mathbb Z/n\mathbb Z$ mit $\overline{m}\overline{a}=\overline{1}$ gibt. Nun ist $\overline{1}=1+n\mathbb Z$, das ist die Kurzschreibweise für
\[
\overline{1}=\{1+nb\mid b\in\mathbb Z\} = \{1-nb\mid b\in\mathbb Z\}.
\]
Wieso sind diese beiden Mengen gleich? $\overline{m}$ ist also dann eine Einheit, wenn es $a,b\in \mathbb Z$ mit
\[ma=1-bn\]
gibt.
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EuskiPeuski712
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24
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Ah okay, auf den "Trick", dass
1_R={1-nb:b\el\ \IZ}
bin ich nicht gekommen. Dann wäre meine Idee:
Wenn m eine Einheit ist, dann gilt, dass m*a=1_R für a\el\ R Somit würde ja gelten, dass m*a=1-b*n <=> m*a+b*n=1 <=> ggT(m,n)=1 Andersrum, wenn m*a+b*n=1 gilt, dann gilt ja auch, dass m*a=1-b*n und da 1-b*n \el\ 1_R ist, so muss auch m*a\el\ 1_R
Haut das einigermaßen hin ?
Würde man im Fall ggT>1 auch auf eine ähnliche Weise argumentieren können ?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-27
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Restklassen lenken hier nur davon ab, worum es wirklich geht. Und die Annahmen "$n \geq 2$" und "von Null verschieden" sind überflüssig, lenken also ebenfalls ab (siehe auch hier).
Sei $R$ irgendein endlicher kommutativer Ring. Ist $a \in R$ kein Nullteiler, so bedeutet dies, dass die Abbildung $R \to R$, $x \mapsto ax$ injektiv ist. Weil $R$ endlich ist, muss sie also bijektiv sein. Insbesondere ist $1=ax$ lösbar, das heißt, $a$ ist eine Einheit.
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