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Mathematik » Zahlentheorie » Kleinste natürliche Zahl im Intervall
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Universität/Hochschule Kleinste natürliche Zahl im Intervall
f34rl00
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hallo zusammen,
Es wundert mich diese einfache Frage:

Seien \(a,b \in \mathbb{N} \ und \ x,y \in \mathbb{Q}\)
Es gilt: \(ax > b > ay\)

z.B. sagen wir mal \(x=0.49\) und \(y=0.41\). Dann sei die kleinste natürliche Zahl, die wir an a einsetzen können, gleich 7.

Wie kann man denn die kleinste natürliche Zahl a finden, damit die oberige Ungleichung gilt? Gibt es dafür eine Methode?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24


Hallo,

was ist denn die Frage im originalen Wortlaut?






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f34rl00
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Eigentlich gibt es keine offizielle Frage für diese allgemeine Methode. In der Frage, die ich gesehen habe, steht nur die Frage für die kleinste a damit zwischen 0.49a und 0.41a eine natürliche Zahl liegt.
2020-11-24 18:06 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

was ist denn die Frage im originalen Wortlaut?







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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi f34rl00

Ich sehe da keinen mathematischen Weg oder eine Formel, um das richtige $a$ zu finden. Lediglich das stupide Durchprobieren, bis gilt
ceiling(a*y)=floor(a*x)

Frage:
Warum verdrehst du die übliche Lesart einer Ungleichung von $p<q$ in $q>p$?

Gruß vom ¼


-----------------
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\(\endgroup\)


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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-26


2020-11-24 18:41 - f34rl00 in Beitrag No. 2 schreibt:
Eigentlich gibt es keine offizielle Frage für diese allgemeine Methode. In der Frage, die ich gesehen habe, steht nur die Frage für die kleinste a damit zwischen 0.49a und 0.41a eine natürliche Zahl liegt.

Wie wäre es mit a := 0. Das ergibt das Intervall [0, 0] und da liegt 0 drin. Mit a' < 0 erhält man ein Intervall mit negativen Grenzen, also ist a minimal.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
@Zwerg_Allwissend
Und inwiefern stellt das die Ungleichung $0<b<0$ zufrieden?
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-27


Gesucht ist ein Bruch b/a, der zwischen x und y liegt und für den a (betragsmäßig) möglichst klein ist.

Diese Aufgabe lässt sich mit Hilfe der Kettenbruch-Entwicklung lösen.
Es gilt im Beispiel: $x=0.49=\frac{1}{2+\frac{1}{24.5}}$, während $y=0.41=\frac{1}{2+\frac{1}{2.2777...}}$ gilt.
Der Bruch mit dem kleinsten Nenner zwischen diesen beiden Zahlen ist
$z=\frac{1}{2+\frac{1}{3}}=\frac{3}{7}$. $a=7$ und $b=3$ ist die gesuchte Lösung.



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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-11-26 23:30 - viertel in Beitrag No. 5 schreibt:
@Zwerg_Allwissend
Und inwiefern stellt das die Ungleichung $0<b<0$ zufrieden?

Meine Antwort bezieht sich auf die Frage, die in grün oberhalb der Antwort steht. Dort kommt kein "b" vor.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-27


In Beitrag #2 ist "zwischen" nicht exakt definiert. Im Themenstart aber schon.
Für $a=0$ ist die Bedingung $ax>b>ay$ sicher nicht erfüllt.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-27


Unter „zwischen“ versteht der gesunde Menschenverstand immer noch eine Zahl ungleich der beiden Grenzen. Zwischen 3 und 4 gibt es nun mal keine natürliche Zahl😉



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-11-27 00:04 - Kitaktus in Beitrag No. 6 schreibt:
Gesucht ist ein Bruch b/a, der zwischen x und y liegt und für den a (betragsmäßig) möglichst klein ist.

Diese Aufgabe lässt sich mit Hilfe der Kettenbruch-Entwicklung lösen.
Es gilt im Beispiel: $x=0.49=\frac{1}{2+\frac{1}{24.5}}$, während $y=0.41=\frac{1}{2+\frac{1}{2.2777...}}$ gilt.
Der Bruch mit dem kleinsten Nenner zwischen diesen beiden Zahlen ist
$z=\frac{1}{2+\frac{1}{3}}=\frac{3}{7}$. $a=7$ und $b=3$ ist die gesuchte Lösung.
Hi Kitaktus
Ich bin kein Zahlentheoretiker. Was Kettenbrüche sind, weiß ich.
Ich verstehe aber nicht, wie du damit auf die Lösung kommst.
Wenn ich z.B. die $0.41$ durch $0.47$ ersetze, dann komme ich auf $a=17$ und $b=8$
$$0.47 < \frac{8}{17} \approx 0.4705882352 < 0.49$$ Wie komme ich mit Kettenbrüchen da drauf?
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-27


$0.47 \approx \frac{1}{2+\frac{1}{7.833}} < \frac{1}{2+\frac{1}{8}}=\frac{8}{17}$


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Ok, es ist $\frac{8}{17} \approx 0.4705882352$

Was dann aber, wenn die Obergrenze auf $0.4704$ festgelegt ist? Dann komme ich auf $a=117$ ($54.99<b<55.0368$), also $b=55$.
Denn  mit $a=100$ kommt man auf die Ungleichung $47<b<47.04$, und das reicht nicht 😲
$0.47=[0, 2, 7, 1, 5]$
$0.4704=[0, 2, 7, 1, 17, 2]$

Wie weit muß ich es also mit dem Kettenbruch treiben? Ich seh's (noch) nicht🙁
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-27


Du brauchst einen Kettenbruch, der zwischen
0.47  =[0,2,7,1, 5] und
0.4704=[0,2,7,1,17,2]
liegt.
Das ist [0,2,7,1,6] = 55/117.
Die ersten vier Zahlen müssen [0,2,7,1] sein, weil beide Kettenbruchentwicklungen bis hier her übereinstimmen.
Danach brauchen wir eine Fortstzung, die zwischen [... 5] und [... 17, 2] liegt. Dass [... 6] die Fortsetzung ist, die zum kleinsten Nenner führt, ist nicht ganz trivial.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-28


Ok, danke.



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-28


Hallo
 bilde die Differenz der 2 Zahlen im Beispiel 0,8, jetzt muss man die Differenz auf mindestens 0,51 vergrößern, mit einer ganzen Zahl , hier also 7
also Verfahren( (x-y)*a>=0,51, a>0,51/(x-y) davon die nächst größere ganze Zahl
Oder ich habe die Frage mißverstanden?
Gruß lula



-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 00:54 - lula in Beitrag No. 15 schreibt:
Hallo
 bilde die Differenz der 2 Zahlen im Beispiel 0,8, jetzt muss man die Differenz auf mindestens 0,51 vergrößern, mit einer ganzen Zahl , hier also 7
also Verfahren( (x-y)*a>=0,51, a>0,51/(x-y) davon die nächst größere ganze Zahl
Oder ich habe die Frage mißverstanden?
Gruß lula

Die Differenz von welchen beiden Zahlen ist 0,8?
Wieso muss die Differenz auf 0,51 vergrößert werden?

Von der Differenz der beiden Zahlen allein hängt die Antwort nicht ab.
x=1,001 und y=0,999 haben eine Differenz x-y von 0,002, aber a=1 und b=1 erfüllen schon die Ungleichungskette ax>b>ay.
Für die beiden Zahlen 0,999 und 0,997 ist die Differenz auch 0,002. Das kleinste mögliche a ist hier jedoch 334:
334x=333,666>333>332,998=334y.
Wie man sieht reicht hier auch keine Vergrößerung der Differenz auf 0,51. Im Extremfall muss man die Differenz sogar auf über 1 vergrößern [z.B. für 1.000 und 0.998].



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Zwerg_Allwissend
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-28


2020-11-27 17:34 - viertel in Beitrag No. 9 schreibt:
der gesunde Menschenverstand

Was ist das?



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2020-11-28 13:41 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 17 schreibt:
2020-11-27 17:34 - viertel in Beitrag No. 9 schreibt:
der gesunde Menschenverstand

Was ist das?
Wenn du das fragst ist es mit Zwerg_Allwissend wohl nicht weit her😛



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