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Analysis » Ungleichungen » \int(|f|^p,μ,X) < ∞ <-> Σ(a^n μ({ x∈ X: a^n ≤|f|^p < a^(n+1)}), n=-∞,∞)
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Universität/Hochschule \int(|f|^p,μ,X) < ∞ <-> Σ(a^n μ({ x∈ X: a^n ≤|f|^p < a^(n+1)}), n=-∞,∞)
ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hallo,

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Ich weiß nicht mal, wie man hier beginnen soll.. daher suche ich nach Hilfe.

Edit: a>1 :)

Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24


Hallo ILoveMath3,

also den Titel "\int(|f|^p,μ,X) < ∞ <-> Σ(a^n μ({ x∈ X: a^n ≤|f|^p < a^(n+1)}), n=-∞,∞)" finde ich ausbaufähig ;D

Ich gehe mal davon aus, dass \(a>0\) und \(a\neq1\) ist?

Was Dir helfen könnte wäre wohl die simple Gleichung \(\mu(A)=\int_X\chi_A\,d\mu\) für eine messbare Menge \(A\subseteq X\). Ich denke Du erhältst dann
\[\frac{1}{a}\int_X|f|^p\,d\mu\leq\sum_{n=-\infty}^\infty a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})\leq\int_X|f|^p\,d\mu,\] wobei noch zu beachten ist, dass die Mengen \(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}\) mit \(n\in\mathbb{Z}\) eine Partition von \(\{|f|^p>0\}\) bilden.




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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


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Schöne Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24


Partition heißt, dass \(\cup_{n\in\mathbb{Z}}\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}=\{x\in X\,|\,|f(x)|^p>0\}\), wobei die Vereinigung disjunkt ist. Das liegt daran, dass die Folge \(a^n\) streng monoton wachsend ist (wenn \(a>1\)) mit \(a^n\to\infty\) für \(n\to\infty\) und \(a^n\to0\) wenn \(n\to-\infty\).

Es gilt
\[a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})=\int_Xa^n\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu\leq\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu.\] Dann musst du Die Reihe bilden.



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25


Es gilt \(a^n\chi_{\{a^n\leq|f|^p<a^{n+1}\}}(x)\leq|f(x)|^p\chi_{\{a^n\leq|f|^p<a^{n+1}\}}(x)\) für alle \(x\in X\): Wenn \(a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\) nicht erfüllt ist, dann steht dort \(a^n\cdot0\leq|f(x)|^p\cdot0\), was sicherlich wahr ist. Wenn hingegen \(a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\) erfüllt ist, steht dort \(a^n\cdot1\leq|f(x)|^p\cdot1\), was in diesem Fall ja ebenfalls wahr ist. Die Indikatorfunktion blendet quasi alles aus, was nicht in der Menge liegt und Du kannst die Ungleichungen verwenden, die auf dieser Menge gelten.

Du willst ja zeigen, dass \(\int_X|f|^p\,d\mu\) genau dann endlich ist, wenn \(\sum_{n=-\infty}^\infty a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})\) endlich ist. Sobald Du die Ungleichungen
\[\frac{1}{a}\int_X|f|^p\,d\mu\leq\sum_{n=-\infty}^\infty a^n\mu(\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\})\leq\int_X|f|^p\,d\mu,\] gezeigt hast, folgt die Aussage eigentlich unmittelbar. "\(\Rightarrow\)" folgt aus der zweiten Ungleichung, "\(\Leftarrow\)" folgt aus der ersten Ungleichung. Mein letzter Beitrag bezog sich auf den Beweis der zweiten Ungleichung, also auf "\(\Rightarrow\)".



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25


Ja das soll rauskommen. Zur Begründung siehe de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_monotonen_Konvergenz#Anwendung_des_Satzes_auf_Funktionenreihen



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Okay, allerdings gilt diese Vertauschung nur für Summen über die natürlichen Zahlen - daher könnte ich ohne Weiteres das nicht machen. Aber anscheinend muss das trotzdem gelten - wieso?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25


Die Frage ist, wie ihr einen Ausdruck der Form \(\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\) mit \(a_n\in[0,\infty]\) definiert habt. Wenn dies einfach \(\sum_{n=0}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty a_{-n}\) bedeuten soll, dann folgt direkt
$$ \begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^\infty\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu & =\sum_{n=0}^\infty\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu+\sum_{n=1}^\infty\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^{-n}\leq|f(x)|^p<a^{-n+1}\}}\,d\mu\\
&=\int_X\sum_{n=0}^\infty|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^n\leq|f(x)|^p<a^{n+1}\}}\,d\mu+\int_X\sum_{n=1}^\infty|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,a^{-n}\leq|f(x)|^p<a^{-n+1}\}}\,d\mu\\
&=\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,1\leq|f(x)|^p\}}\,d\mu+\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,0<|f(x)|^p<1\}}\,d\mu\\
&=\int_X|f|^p\chi_{\{x\in X\,|\,0<|f(x)|^p\}}\,d\mu\\
&=\int_X|f|^p\,d\mu.
\end{align*}\\
$$ Hier haben wir nur ganz normale Reihen mit dem Integral vertauscht.

Ansonsten könnte man wohl auch \(\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}\) mit einer Bijektion \(\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Z}\) betrachten, was wohl auf das selbe hinauslaufen würde.



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Das macht Sinn, vielen Dank!
Für die andere Richtung betrachte ich einfach

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Vielen dank für deine Hilfe :)



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