Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit und Wahl des δ
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Stetigkeit und Wahl des δ
WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 256
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hallo zusammen,

wir haben in einigen Beweisen bei uns häufiger folgendes Argument:

Sei $f:M\to\mathbb{R}$ eine in Punkt $x_0$ stetige Funktion.

Wir betrachten nun $[x,x_0]\subseteq M$, wobei $|x-x_0|<\delta$ sei. Wir setzen $M:=\sup\{f(y)\mid y\in [x,x_0]\}$ und $m:=\inf\{f(y)\mid y\in [x,x_0]\}$. Sei weiter $A$ irgendein Ausdruck. Dann argumentieren wir, für $x\to x_0$ bzw. $\delta \to 0$ folgt aufgrund der Stetigkeit, dass $A=f(x_0)$. Intuitiv klingt das einleuchtend, also wenn man $x$ ganz nah an $x_0$ dran schiebt, dann muss auch aufgrund der Stetigkeit $f(x)$ an $f(x_0)$ immer dichter dran kommen.

Aber wie folgere ich das Heranrücken von $f(x)$ an $f(x_0)$ mathematisch sauber aus der "normalen" $\epsilon$-$\delta$-Definition für Stetigkeit? Es ist doch eigentlich immer so, dass man erst vorgibt, dass  $f(x)$ und $f(x_0)$ einen bestimmten Abstand haben und die Stetigkeit dann ein entsprechendes $\delta$ garantiert. Andersherum, also dass man aus einem $\delta$ folgert, dass $f(x)$ an $f(x_0)$ beliebig nah heranrückt, da habe ich irgendwie einen Knoten im Knopf?!

viele Grüße
WagW



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1184
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo WagW,

dieses "andersrum" ist eigentlich der ganze Sinn von Stetigkeit: Wenn wir $x$ nur nah genug an $x_0$ wählen, dann können wir $f(x)$ beliebig nah an $f(x_0)$ heranrücken. Vielleicht ist es auch einleuchtender mit einer etwas ausführlicheren Variante der $\varepsilon-\delta$-Definition:

Eine Funktion $f$ ist stetig in $x_0$, wenn man immer ein ausreichend kleines $\delta>0$ findet, sodass der Abstand von $f(x)$ zu $f(x_0)$ garantiert kleiner als ein beliebig klein gewähltes $\varepsilon>0$ ist, solange der Abstand von $x$ zu $x_0$ kleiner als $\delta$ ist.

Oder das ganze ohne Abstände und griechische Buchstaben, rein qualitativ: $f$ ist stetig in $x_0$, wenn $f(x)$ beliebig nah an $f(x_0)$ herangebracht werden kann, indem $x$ nur nah genug an $x_0$ herangerückt wird.

Beliebig nah wird dann zu "Abstand kleiner als beliebig kleines $\varepsilon$", und nah genug wird zu "Abstand kleiner als ausreichend kleines $\delta$".

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 256
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Hallo Vercassivelaunos,

wenn ich bspw. mein $\delta$ von sagen wir $0.1$ auf $0.01$ reduziere, dann garantiert mir das nicht, dass sich auch die maximale Differenz zwischen $f(x)$ und $f(x_0)$ für ein $x$ mit $|x-x_0|<0.01$ reduziert. Theoretisch könnte es passieren, dass die maximale Differenz einfach gleich bleibt. Die Stetigkeit garantiert mir nur die Existenz irgendeines $\delta'$, was dann ziemlich klein sein kann, welches dafür sorgt dass die Differenz zwischen $f(x)$ und $f(x_0)$ für ein $x$ weiter schrumpft.

Kann man das so sagen?

viele Grüße
WagW



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1184
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Ja, das ist schon richtig. Du kannst nicht einfach vorher ein festes $\delta$ wählen. Du musst erst rausfinden, wie nah "nah genug" ist, und dein $\delta$ entsprechend wählen.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]