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Universität/Hochschule Transitive Operation
LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo,

ich komme wieder bei folgender Aufgabe in Algebra nicht weiter:

$G$ endliche Gruppe operiert transitiv auf einer Menge $X$ mit mindestens zwei
Punkten.
Zeige, dass es ein Element $g \in G$ gibt, dass alle Punkte von $X$ bewegt, also mit $g(x) \neq x$ $ \forall x \in X$.

Als Hinweis wurde das Lemma von Burnside erwähnt.

Meine bisherigen Überlegungen:
Ich muss ja zeigen, dass es ein g gibt, welches kein Stabilisator ist und ein x, welches kein Fixpunkt ist.
Außerdem weiß ich, dass wenn eine Operation auf einer Menge transitiv operiert, dann gibt es nur eine Bahn, d.h. mit dem Lemma von Burside folgt:

$1 = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} |Fix(g)| \iff |G| = \sum\limits_{g \in G} |Fix(g)| = \sum\limits_{x \in X} |Stab(x)| $ und wegen $|Bahn(x)|=1$ ist auch $|G|=|Stab(x)|$ (Sätze aus der VL)

Nun komme ich irgendwie nicht weiter mit diesen Überlegungen...

Danke für jede Hilfe!!!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27


Deine Überlegungen enthalten einige Fehler:
- "es ein Element $g \in G$ gibt, welches kein Stabilisator ist" ist schon syntaktisch nicht sinnvoll
- "und ein x, welches kein Fixpunkt ist" entspricht nicht der Aufgabenstellung
- warum sollte $|\mathrm{Bahn}(x)|=1$ gelten?

Es ist zu zeigen, dass es ein $g \in G$ gibt mit $\mathrm{Fix}(g)=\emptyset$. Angenommen, das ist nicht der Fall, also $|\mathrm{Fix}(g)|\geq 1$ für alle $g \in G$. Das Lemma von Burnside liefert aber $\sum_{g \in G} |\mathrm{Fix}(g)|=|G|$ und daher $|\mathrm{Fix}(g)|=1$ für alle $g \in G$. Das ist falsch für $g=1$, Widerspruch.

Eine äquivalente Aussage lautet übrigens: Ist $H$ eine echte Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$, so ist $G \neq \bigcup_{g \in G} g H g^{-1}$.

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