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Autor |
Pyramidenvolumen ist sowohl 28 als auch 29 |
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Ritter
Aktiv  Dabei seit: 16.06.2009 Mitteilungen: 600
Herkunft: Dunkler Ort
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Hallo,
heute bin ich über folgende Aufgabe aus der analytischen Geometrie gestolpert.
 
Gegeben sind die Punkte A(4\|3\|1), B(1\|7\|1), C(-3\|2\|0), D(0\|0\|0) und S(0\|3\|4). Gesucht ist das Volumen der zugehörigen Pyramide. Da die vier Punkte ABCD kein Parallelogramm bilden, war die Idee, die Grundfläche in zwei Dreiecke zu teilen. Möglichkeit 1: Teile entlang AC Man erhält als Grundflächen ABC und ACD. Für das Volumen der Pyramide ABCS ergibt sich 109/6, für das Volumen der Pyramide ACDS ergibt sich 59/6. Für die vollständige Pyramide ABCDS ergibt sich so 168/6 = 28. Möglichkeit 2: Teile entlang BD Man erhält als Grundflächen ABD und BCD. Für das Volumen der Pyramide ABDS ergibt sich 91/6, für das Volumen der Pyramide BCDS ergibt sich 83/6. Für die vollständige Pyramide ABCDS ergibt sich so 174/6 = 29.
Die Rechnungen kann ich hoffentlich morgen noch nachreichen. Ich habe beide Wege allerdings auch mit Geogebra rechnen lassen, und auch hier ergeben die beiden unterschiedlichen Werte 28 bzw. 29.
Bevor ich nun mühsam beide Wege abtippe: Welchen Denkfehler habe ich?!
Direkt die Pyramide ABCDS konnte Geogebra mir übrigens nicht ausrechnen.
Gruß,
Ritter
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StrgAltEntf
Senior  Dabei seit: 19.01.2013 Mitteilungen: 6552
Herkunft: Milchstraße
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
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Hallo Ritter,
die Punkte ABCD bilden kein Parallelogramm. Aber liegen sie überhaupt in einer Ebene? Liegt hier also überhaupt eine Pyramide vor?
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Ritter
Aktiv  Dabei seit: 16.06.2009 Mitteilungen: 600
Herkunft: Dunkler Ort
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Ah. Sehr guter Hinweis!
Tja, da ist das aber eine ganz schön fiese Aufgabe gewesen. 🙃
Danke schön. 👍
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viertel
Senior  Dabei seit: 04.03.2003 Mitteilungen: 27696
Herkunft: Hessen
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25
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Hi Ritter
Der Fehler ist ähnlich diesem hier:
 
\geo ebene(300,300) x(-3,3) y(-3,3) P(-2,-2,A) P(2,0,B) P(-1,2,C) P(-1,0,D) S(A,B,,nolabel) S(B,C,,nolabel) S(C,D,,nolabel) S(D,A,,nolabel) C(blue) S(B,D,,nolabel) C(red) S(A,C,,nolabel) \geooff geoprint()
Zerlegst du das Viereck ABCD mittels der Diagonalen BD, dann ist die Summe der Dreiecksflächen gleich der Fläche des Vierecks.
Zerlegst du entlang AC, dann ist die Summe der (Beträge) der Dreiecksflächen ungleich der Vierecksfläche.
Auch bei dir verlaufen die Strecken für die Teilung innerhalb bzw. außerhalb der „Pyramide“. Weil die vier Eckpunkte nicht in einer Ebene liegen.
Gruß vom ¼
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Ritter
Aktiv  Dabei seit: 16.06.2009 Mitteilungen: 600
Herkunft: Dunkler Ort
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Danke auch dir.
Wenn ich mir die Punkte im Raum anschaue, dann müsste man wohl defnitiv entlang AC teilen und 28 wäre das richtige Volumen?
In der Aufgabe ist allerdings eindeutig von der Pyramide ABCDS die Rede. Die Antwort auf deren Volumen ist dann wohl, dass die Frage nicht richtig definiert ist?
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StrgAltEntf
Senior  Dabei seit: 19.01.2013 Mitteilungen: 6552
Herkunft: Milchstraße
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25
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2020-11-25 20:30 - Ritter in Beitrag No. 4 schreibt:
In der Aufgabe ist allerdings eindeutig von der Pyramide ABCDS die Rede. Die Antwort auf deren Volumen ist dann wohl, dass die Frage nicht richtig definiert ist?
Genau, weil es eben keine Pyramide ist. Im weitesten Sinne könnte man die Frage zu den Scherzfragen einordnen 😃 Erinnert mich ein wenig an das Fehlende-Quadrat-Rätsel.
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viertel
Senior  Dabei seit: 04.03.2003 Mitteilungen: 27696
Herkunft: Hessen
 |     Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Vielleicht ist es aber auch nur ein Schreibfehler in der Aufgabenstellung.
Denn mit $B=(1|5|1)$ liegen alle 4 Punkte in einer Ebene (kann man leicht nachrechnen).
Mit den Original-Koordinaten sieht es so aus:
Das etwas dunklere Grün des $\triangle ABC$ zeigt, daß es gegenüber dem vorderen leicht nach hinten abgekippt ist.
Zieht man $B$ auf die oben angegebenen Koordinaten, dann paßt es.
Gruß vom ¼\(\endgroup\)
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Ritter
Aktiv  Dabei seit: 16.06.2009 Mitteilungen: 600
Herkunft: Dunkler Ort
 |     Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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StrgAltEntf
Senior  Dabei seit: 19.01.2013 Mitteilungen: 6552
Herkunft: Milchstraße
 |     Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-26
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2020-11-26 01:34 - viertel in Beitrag No. 6 schreibt:
Vielleicht ist es aber auch nur ein Schreibfehler in der Aufgabenstellung. Glaube ich nicht, denn die zwei Berechnungsmöglichkeiten waren ja Bestandteil der Aufgabe, wenn ich es richtig verstanden habe.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Ritter
Aktiv  Dabei seit: 16.06.2009 Mitteilungen: 600
Herkunft: Dunkler Ort
 |     Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27
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Hallo,
nein, die beiden verschiedenen Wege waren nicht vorgegeben. Es sollte einfach nur das Volumen der "Pyramide ABCDS" bestimmt werden.
Beim Ergebnisvergleich sind wir dann darauf gekommen, dass hier irgendetwas nicht stimmen kann. Ich dachte allerdings eher, dass ich einen Rechenfehler übersehe. Dass die Pyramide gar keine Pyramide ist, ich weiß nicht, wie lange ich gebraucht hätte um darauf zu kommen.
D liegt ja auch nur 0,19 Einheiten über der Ebene ABC, wenn ich mich richtig erinnere, so dass es bei Geogebra nicht gleich aufgefallen ist.
Schönes Wochenende 😎
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