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  Überabzählbare Mengen Teil 3 |
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JamesNguyen
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Hallo,
  
f : A -> 2^A ist eine Funktion von A in die Potenzmenge 2^A außerdem ist M := { x \el A \| x \notel f(x) } Es sei bereits gezeigt: f(a) != M für alle a \el A Es ist außerdem der Satz von Cantor gezeigt: Für jede Menge A gilt \|A\| != \|(2^A)\| Ich weiß also auch für A = \IN gilt \|\IN\| != \|(2^\IN)\| wie kann man nun begründen dass 2^\IN überabzählbar ist?
Gruß,
James
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JamesNguyen
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|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Diophant
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hi,
überhaupt nicht: weil es nicht stimmt. Vermutlich ist die Überabzählbarkeit von \(2^{\IN}\) gemeint?
Falls ja: was sagen dir die sog. Cantor'schen Diagonalverfahren?
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Diophant
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25
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Hallo,
ok. Und das ist jetzt schon gelöst oder hast du dazu Fragen?
Gruß, Diophant
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JamesNguyen
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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äh ja noch nicht gelöst
also in der Aufgabe steht
(b) Folgern Sie aus (a) den Satz von Cantor: Für Jede Menge A gilt |A| = |2^A|
(c) Folgern Sie aus (b) dass die Potenzmenge 2^IN überabzählbar ist
geht dass dann auch alleine aus (b)?
also ich weiß, dass überabzählbar heißt, wenn A weder endlich noch abzählbar unendlich ist..
und abzählbar unendlich, wenn |A| = |IN|
aus (b) weiß ich, dass 2^IN nicht abzählbar unendlich ist.
Wie kann ich nun begründen das 2^IN nicht endlich ist?
Danke,
James
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JamesNguyen
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Also ich hätte jetzt behauptet
die Potenzmenge einer abzählbar unendlichen Menge ist nicht endlich?
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ist dir überhaupt klar, was die beiden Begriffe abzählbar und überabzählbar bedeuten? Offensichtlich nicht.
Der klassische Beweis für die Überabzählbarkeit von \(2^{\IN}\) geht mittels dem 2. Cantor'schen Diagonalverfahren (bzw. eigentlich mit beiden Diagonalverfahren, um genau zu sein).
Sagt dir das etwas?
Vielleicht präzisisierst du zunächst einmal, was dir da eigentlich unklar ist, inwieweit du die Begriffe verstanden hast usw. usf.
Und da dürfen die Rückfragen ruhig auch einmal etwas ausführlicher sein und sorgfältiger formuliert.
Es ist zwar ein platter Spruch und er ist im Lauf der Jahre schon hundertfach verwendet worden: aber der MP ist kein Chat sondern ein seriöses Fachforum. Dementsprechend sollte dann auch die Arbeitsweise gewählt werden.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Tut mir leid,
Folgendes weiß ich:
Zwei Mengen A und B sind gleichmächtig
wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
Dann kann man |A| = |B| schreiben
(im Falle von endlichen Mengen, haben beide Mengen
die gleiche Anzahl von Elementen)
Eine Menge ist dann abzählbar unendlich, wenn
|A| = |IN| gilt
(wir müssen also eine bijektive Abbildung von A nach IN
oder von IN nach A finden, bspw. durch eine explizite
Abbildungsvorschrift)
Eine Menge ist überabzählbar, wenn A weder endlich noch abzählbar unendlich ist.
Das Diagonalverfahren kenne ich dem Namen nach nicht
aber ich habe gesehen,
dass man die positiven rationalen Zahlen Q
mit den natürlichen Zahlen abzählen kann. Und deshalb
die positiven rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist
Gruß,
James
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Diophant
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Mitteilungen: 5748
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,
2020-11-25 20:15 - JamesNguyen im Themenstart schreibt:
\|\IN\| != \|(2^\IN)\|
wie kann man nun begründen dass 2^\IN überabzählbar ist?
Du hast eine Definition von 'überabzählbar unendlich' (die hätte in den Themenstart gehört).
Wenn du die Tatsache, dass die Abbildung \(f(a)\) nicht surjektiv ist noch auf \(A=\IN\) anwendest, dann kannst du die Ungleichheit
\[\left|\IN\right|\neq\left|2^{\IN}\right|\]
noch präzisieren und bekommst die gewünschte Aussage, und zwar mit diesem Argument:
2020-11-25 21:04 - JamesNguyen in Beitrag No. 8 schreibt:
Eine Menge ist überabzählbar, wenn A weder endlich noch abzählbar unendlich ist.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Sehr schön, danke.
Ich musste etwas über den Punkt Surjektivität nachdenken,
aber ja macht Sinn. Danke!
James
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