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 Lipschitz/Hölderstetige Funktionen |
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julian2000P
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Dabei seit: 25.10.2020
Mitteilungen: 59
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Hallo zusammen,
ich habe folgende Übungsaufgabe zu lösen bzw. folgende Frage dazu:
Man solle für $\alpha > 1$ die Menge aller Funktionen bestimmen, die Lipschitz stetig mit Exponent $\alpha$ sind. (anscheinend bezeichnet man dies auch als Hölderstetig)
Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Frage ganz richtig verstehe. Es wird nicht weiter spezifiziert welche Räume ich betrachten soll. Wie würde man diese Menge denn für allgemeine metrische Räume $(X,d)$ und $(\hat{X},\hat{d})$ bestimmen (mit dem Fall $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ wäre mir auch schon geholfen)? Gibt es nicht viel zu viele Funktionen die das erfüllen bzw. zu viele "Arten" von Funktionen oder kann man dieses Bsp vielleicht schon durch Angabe einer bestimmten Funktionenklasse (zB.: Konstante Funktionen, affin lineare Funktionen,...) lösen?
Würde mich sehr über einen Ansatz bzw. Hinweis freuen. (Falls ich noch irgendwas unklar formuliert habe, dann bitte bescheid geben)
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Nullring
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Mitteilungen: 82
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
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Also das ist schon eine eher schwache Fragestellung. Man muss sich für einen Raum entscheiden, ansonsten macht diese Aufgabe wenig Sinn.
Hast du den wirklich keine anderen Informationen? In welchen Themenkreisen gehst du den zur Zeit um?
LG
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Nullring
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Dabei seit: 14.05.2020
Mitteilungen: 82
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25
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Wenn \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) Lipschitz stetig ist mit \(C>0\), also insbesondere Hölder stetig, dann ist \(\forall \theta \in \mathbb{R}\) \(\theta \cdot f\) auch Lipschitz stetig mit Lipschitz Konstante \[K=
\left\{
\begin{array}{ll}
\vert\theta\vert \cdot C & \theta \neq 0 \\
1 & \, \theta = 0 \\
\end{array}
\right. \]
Somit müsste es bereits überabzählbar viele solcher Funktionen geben.
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zippy
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Mitteilungen: 1778
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25
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Der springende Punkt ist hier $\alpha>1$.
Die Funktionen zwischen zwei normierten Räumen, die eine Hölder-Bedingung mit $\alpha>1$ erfüllen, kann man sehr genau charakterisieren.
--zippy
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julian2000P
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Mitteilungen: 59
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Hallo Nullring,
danke für deine Antwort
definiert haben wir den Begriff in der Analysis 3 VO folgendermaßen
Seien $(X,d)$ und $(\hat{X},\hat{d})$ metrische Räume und $f:X \to \hat{X}$, $\alpha > 0$.
$f$ heißt Lipschitzstetig mit Exponent $\alpha$ $:\iff$$\exists c > 0 \forall x,y \in X: \hat{d}(f(x),f(y)) \leq c d(x,y)^\alpha$
Mehr als das gibt die Angabe, die ich bereits geschrieben habe leider nicht her.
Ja stimmt natürlich, dann gibt es im reellen Fall schon überabzählbar viele Funktionen, das ist dann aber auch wieder nur eine Teilmenge der eigentlich zu bestimmenden Menge da ja auch alle Funktionen der Form $k x + d =: f$ mit $k,d \in \mathbb{R} $ in meiner Menge sind. Und darüberhinaus gibt es natürlich noch mehr solche Funktionen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25
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2020-11-25 21:38 - julian2000P in Beitrag No. 4 schreibt:
da ja auch alle Funktionen der Form $k x + d =: f$ mit $k,d \in \mathbb{R} $ in meiner Menge sind.
Diese Funktionen erfüllen (außer für $k=0$) keine Hölder-Bedingung mit $\alpha>1$.
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julian2000P
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Hallo zippy,
danke auch für deine Antwort und den Hinweis, dass $\alpha > 1$ eine wichtigere Rolle spielt. Werde mir das ganze mal überlegen.
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julian2000P
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Hallo,
ich hätte nun folgende Idee:
Sei $f$ eine Funktion aus der zu bestimmenden Menge mit $\alpha > 0$.
$\implies \exists c > 0 \forall x,y \in X: \hat{d}(f(x),f(y)) \leq c d(x,y)^\alpha$
Seien $x,y \in X$ mit $x \neq y$
$\begin{align}
\implies &\hat{d}(f(x),f(y)) \leq c d(x,y)^\alpha \\
\iff & \hat{d}(f(x),f(y)) \leq c d(x,y) d(x,y)^{\alpha - 1} \\
\iff & \frac{\hat{d}(f(x),f(y))}{d(x,y)} \leq c d(x,y)^{\alpha - 1} \\
\implies & 0 \leq \lim_{y \to x} \frac{\hat{d}(f(x),f(y))}{d(x,y)} \leq c \lim_{y \to x} d(x,y)^{\alpha - 1} \\
\implies & f'(x) = 0
\end{align}$
$\implies f(x)$ ist konstant.
Wäre diese Argumentation korrekt? Vielen Dank schon mal für die Anregungen.
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zippy
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-25
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2020-11-25 22:41 - julian2000P in Beitrag No. 7 schreibt:
Wäre diese Argumentation korrekt?
Sie geht in die richtige Richtung. Aber:
1. Die Aussage ist nicht für beliebige metrische Räume richtig.
Nimm beispielsweise einen diskreten Raum mit zwei Punkten. Dort erfüllt jede Funktion eine Hölder-Bedingung mit $\alpha>1$, aber nicht jede Funktion ist konstant.
Oder betrachte Funktionen auf einer nicht zusammenhängenden Teilmenge eines normierten Raumes. Auch die müssen nicht konstant sein, um einer Hölder-Bedingung mit $\alpha>1$ zu genügen.
Bist du dir sicher, dass du dich nicht auf normierte Räume beschränken kannst? (Nur von denen hatte ich ja in Beitrag Nr. 3 gesprochen.)
2. Auch von einer Ableitung kannst du nur sprechen, wenn es sich normierte Räume handelt (oder zumindest um Teilmengen davon).
3. Du solltest noch kurz erläutern, wieso aus dem Verschwinden des Grenzwerts das Verschwinden der ersten Ableitung folgt.
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julian2000P
Aktiv
Dabei seit: 25.10.2020
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Vielen Dank für deine rasche Antwort, werde mich noch informieren ob wir uns auf normierte Räume beschränken können.
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