Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 23.01.2021 05:43 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Riemannsche Summen » Auflösung Term Riemannsche Summe		Druckversion
Druckversion		Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Auflösung Term Riemannsche Summe
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 537
Herkunft: f(x=0)=1/x
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo, eigentlich hat meine Frage kaum was mit dem Integrieren zu tun, sondern mit dem Vereinfachen, aber es geht eigentlich ums integrieren, also hab ich das jetzt mal hier rein gegeben.

Sei ein Integral im Intervall \([a,b]\) wie folgt definiert:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(f(a+\frac{k}{n}*(b-a))\ *\frac{b-a}{n}\right)\right)}\] Sprich der Grenzwert der Summe des Funktionswertes (Höhe der Säule) multipliziert mit seine Breite.

Nun sei \(a=0,b=1\) und man möchte das Integral von \(x \ dx\) bestimmen, dann gilt:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(f(\frac{k}{n})\ *\frac{1}{n}\right)\right)}\] Dies haben wir dann in der Vorlesung zusammengefasst als:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^2}\right)\right)}\] Sprich:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(f(\frac{k}{n})\ *\frac{1}{n}\right)\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^2}\right)\right)}\]
Ich versteh da nicht, wie man das einfach so machen darf. Im ersten Term steht ja der Funktionswert von \(\frac{k}{n}\), also \(f(\frac{k}{n})\), wieso ist dieser gleich einfach nur \(\frac{k}{n}\)?

Und wo ist eigentlich das \(x\) hingeflossen, von dem wir ja das Integral bilden wollen?

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex

Wahlurne Für Spedex bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Maexinator
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.08.2020
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25


Du möchtest ja nur beispielhaft über die Funktion \(f(x)=x\) integrieren. Dann ist auch \(f(\frac{k}{n})=\frac{k}{n}\).

Wahlurne Für Maexinator bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 537
Herkunft: f(x=0)=1/x
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Ah, verstehe.
Die Zuordnungsvorschrift ist \(x\mapsto x\), somit ist die Funktion an der Stelle \(\frac{k}{n}\) gleich \(\frac{k}{n}\). Das beantwortet auch gleich die Frage, wo denn meine Funktion \(f(x)=x\) überhaupt hingekommen ist. Die steckt also weiterhin in der Summe, gut.

Vielen Dank für die Hilfe.

Liebe Grüße
Spedex

Wahlurne Für Spedex bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Spedex wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]