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Universität/Hochschule Auflösung Term Riemannsche Summe
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo, eigentlich hat meine Frage kaum was mit dem Integrieren zu tun, sondern mit dem Vereinfachen, aber es geht eigentlich ums integrieren, also hab ich das jetzt mal hier rein gegeben.

Sei ein Integral im Intervall \([a,b]\) wie folgt definiert:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(f(a+\frac{k}{n}*(b-a))\ *\frac{b-a}{n}\right)\right)}\] Sprich der Grenzwert der Summe des Funktionswertes (Höhe der Säule) multipliziert mit seine Breite.

Nun sei \(a=0,b=1\) und man möchte das Integral von \(x \ dx\) bestimmen, dann gilt:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(f(\frac{k}{n})\ *\frac{1}{n}\right)\right)}\] Dies haben wir dann in der Vorlesung zusammengefasst als:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^2}\right)\right)}\] Sprich:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(f(\frac{k}{n})\ *\frac{1}{n}\right)\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^2}\right)\right)}\]
Ich versteh da nicht, wie man das einfach so machen darf. Im ersten Term steht ja der Funktionswert von \(\frac{k}{n}\), also \(f(\frac{k}{n})\), wieso ist dieser gleich einfach nur \(\frac{k}{n}\)?

Und wo ist eigentlich das \(x\) hingeflossen, von dem wir ja das Integral bilden wollen?

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex

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Maexinator
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25


Du möchtest ja nur beispielhaft über die Funktion \(f(x)=x\) integrieren. Dann ist auch \(f(\frac{k}{n})=\frac{k}{n}\).

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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Ah, verstehe.
Die Zuordnungsvorschrift ist \(x\mapsto x\), somit ist die Funktion an der Stelle \(\frac{k}{n}\) gleich \(\frac{k}{n}\). Das beantwortet auch gleich die Frage, wo denn meine Funktion \(f(x)=x\) überhaupt hingekommen ist. Die steckt also weiterhin in der Summe, gut.

Vielen Dank für die Hilfe.

Liebe Grüße
Spedex

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