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 Zerfall eines neutralen Pions |
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lune
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Dabei seit: 25.11.2020
Mitteilungen: 4
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Huhu! 🤗
Ich komme mit einer Aufgabe nicht klar. Möglich, dass in der Vorlesung am Freitag noch Stoff dazu kommt. Ich glaube aber nicht:
Ein neutrales Pion \(m_{\pi^0} = 135\, \mathrm{MeV} \) zerfällt in zwei Photonen, und zwar im Laborsystem gleicher Energie unter einem Winkel von 30°.
a) Wie schnell ist das Pion im Laborsystem?
b) Unter welchem Winkel zerfällt das Pion im Schwerpunktsystem in die zwei Photonen?
I'm puzzled...
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wladimir_1989
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
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Hallo lune und willkommen auf dem Mathepalaneten,
Zu a) Stelle eine Gleichung für die 4-er Impulserhaltung auf. Nehme an, der Pion bewege sich entlang der z-Achse.
Zu b) Wie ist das Schwerpunktssystem definiert?
lg Wladimir
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lune
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Dabei seit: 25.11.2020
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Hallo lune und willkommen auf dem Mathepalaneten,
Danke Wladimir 🙂
Zu a) Stelle eine Gleichung für die 4-er Impulserhaltung auf. Nehme an, der Pion bewege sich entlang der z-Achse.
Im Laborsystem hat \(\pi^0\) Energie \(E=\gamma m\color{orange}{c^2}\) und Impuls \(\gamma m\vec{v}\), wobei \(E=E_{\gamma_a}+E_{\gamma_b}\) und \(\vec{p}=\vec{p}_{\gamma_a}+\vec{p}_{\gamma_b}\). Außerdem ist \(p_x=0\)
Da die Masse in MeV angegeben ist, ist es vermutlich praktischer, in natürlichen Einheiten zu rechnen. Deshalb habe ich c=1 mal in orange geschrieben. Dann kann ich auch einfach \(v=\beta\gamma\) schreiben.
Zu b) Wie ist das Schwerpunktssystem definiert?
Im Schwerpunktsystem liegt der Schwerpunkt des Systems im Koordinatenursprung, also hier gewissermaßen \(\pi^0\in O\) bis zum Zerfall. Dann müsste \(\vec{p}=\vec{p}_{\gamma_a}+\vec{p}_{\gamma_b}=\vec{0}\) sein und \(E = E_{\gamma_a} + E_{\gamma_b} =m\).
Edit: Also \(\vec{p}_{\gamma_a} = -\vec{p}_{\gamma_b}\) und damit Winkel von 180°?
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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
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Herkunft: Freiburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26
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Hallo,
beachte bei a), dass du noch die Onshell-Bedingung hast. \(E_\pi^2=M^2+|\vec p_\pi|^2\) und \(E_\gamma=|\vec p_\gamma|\).
Versuche am besten die Viererimpulse der Teilchen hinzuschreiben. Das Pion hat z.B. den Impuls
\(p_\pi^\mu=(\sqrt{M^2+|\vec p|^2},0,0,|\vec p|)\).
Wie sehen die Photon-Impulse aus?
Zu b)
Edit: Also \(\vec{p}_{\gamma_a} = -\vec{p}_{\gamma_b}\) und damit Winkel von 180°?
Das ist richtig.
lg Wladimir
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lune
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Danke.
Stimmt, die Energie-Impuls-Beziehung. Ich kürze mal ab: \(p=|\vec p|\)
Also Pion: \(P_\pi=(\sqrt{M_\pi^2+p_\pi^2},0,p_\pi)\)
Photon a: \(P_a=(p_a,p_{a,x},p_{a,y})\)
Photon b: \(P_b=(p_b,p_{b,x},p_{b,y})\)
Da die Energie der Photonen gleich ist, gilt \(\sqrt{M_\pi^2+p_\pi^2}=2p_a\).
Und es gilt \(p_{a,x}+p_{b,x}=0\), also \(p_{a,x}=-p_{b,x}\) sowie \(p_{a,y}+p_{b,y}=p_\pi=\gamma Mv\).
Soweit so okay?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-27
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Hallo,
sieht bis jetzt gut. Warum haben aber deine Vierer-Impulse nur drei Komponenten? 😃 Als nächstes kannst du die z- und die x-Komponenten noch in Abhängigkeit vom Streuwinkel schreiben. Außerdem kannst du alle y-Komponenten 0 setzen, wenn wir annehmen, dass die Streuung in z-x-Ebene stattfindet.
lg Wladimir
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lune
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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Ich habs! Danke dir 🤗
Warum haben aber deine Vierer-Impulse nur drei Komponenten? 😃
Weil die eine immer und überall 0 ist, habe ich sie der Übersicht wegen weggelassen 🙃
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