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Universität/Hochschule Eigenwerte abschätzen
Huhoha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo zusammen,

um eine Ausage über die Konvergenz einer Folge muss ich eine Abschätzung der Eigenwerte der Block-Matrix

\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} \]
mit \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) positiv definit und \(B \in \mathbb{R}^{m\times n} \) mit vollen Rang \(m\). Dabei sind \(\alpha\) und \(\beta\) wählbare Parameter.

Hat jemand Ideen, wie ich so ein Problem der Abschätzung von EW angehen könnte?

Viele Grüße!



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-26


Hallo,

kannst du deine Frage etwas präziser stellen? Was genau weißt du denn über $A,B,\alpha,\beta$?

Vielleicht ist die Determinante auch die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ oder $\alpha\beta BB^T$?



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Huhoha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Hallo,

ich weiß nur, dass \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und dass die Matrix \(A\) positiv definit und symmetrisch (und damit invertierbar) ist und die Matrix \(B\) vollen Rang m hat (m < n).

2020-11-26 09:47 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:

Vielleicht ist die Determinante auch die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ oder $\alpha\beta BB^T$?

Die Determinante von $\alpha\beta BB^T$ ist ja auf jeden Fall Null (da $BB^T$ singulär ist). Die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ scheint nicht das richtige Ergebnis zu liefern.

Viele Grüße und trotzdem Danke!



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Huhoha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Ich bin selber etwas weitergekommen:

Man kann die Matrix folgendermaßen umschreiben

\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \frac{\beta}{\alpha} B A^{-1} & I  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ 0 & -\beta B A^{-1}B^T  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A^{-1} B^T \\ 0 & I  \end{pmatrix} \].

Wäre der Term $\frac{\beta}{\alpha}$ im Eintrag 2,1 der ersten Matrix nicht da, hätte ich ja eine Form $N^T M N$ vorliegen und mit der wahl $\alpha > 0, \beta < 0$ wäre die Matrix $M$ positiv definit und würde ja nach der Multiplication mit N von recht und links positiv definit bleiben.

Ich habe aber nicht ganz die Form $N^T M N$ wegen dem einen Term... Kann mir da jemand helfen?

Viele Grüße




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-26


Hallo,

was genau hast du denn vor? Kannst du deine Frage bitte noch einmal anders stellen? Oder wie lautet die originale Aufgabenstellung?



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Huhoha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Hallo,

ich will eigentlich nur die Eigenwerte der Matrix $M$ mit

\[M = \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} \]
berechnen, oder zumindest eine Abschätzung des größten und kleinsten Eigenwerts machen. Ich will also sowas wie

\[ \underline{\lambda} I \leq M \leq \bar{\lambda} I \]
brechenen, wenn $\underline{\lambda}$ und $\bar{\lambda}$ eine untere bzw. obere Grenze für die Eigenwerte darstellen. Ideal wäre das, wenn ich das in Abhängigkeit von $\alpha$ und $\beta$ hinschreiben kann. Das ist keine vorgegebene Aufgabenstellung, ich bin wegen einem Optimierungsproblem darüber gestolpert und wollte es dann lösen.

Tatsächlich habe ich nun herausgefunden, dass die Matrix $M$ positiv definit ist, wenn ich $\beta < 0$ und $\alpha>0$ wähle. Ich hätte also nun schonmal $\lambda_1 = 0$ in der oberen Gleichung. Dies folgt daraus, dass man $M$ als

\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ B A^{-1} & I  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ (\beta - \alpha)B & -\beta B A^{-1}B^T  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A^{-1} B^T \\ 0 & I  \end{pmatrix} \]
schreiben kann. Da die Matrix

$$\begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ (\beta - \alpha)B & -\beta B A^{-1}B^T  \end{pmatrix} $$
wegen den vollen Rang von $B$ für $\beta < 0$ und $\alpha>0$ positiv definit ist.

Nun hänge ich am nächsten Problem: Kann ich eine obere Grenze für die Eigenwerte von $M$ angeben? Hat jemand Ideen?

Viele Grüße und schonmal vielen Dank!






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