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 Eigenwerte abschätzen |
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Huhoha
Aktiv 
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 26
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Hallo zusammen,
um eine Ausage über die Konvergenz einer Folge muss ich eine Abschätzung der Eigenwerte der Block-Matrix
\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0 \end{pmatrix} \]
mit \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) positiv definit und \(B \in \mathbb{R}^{m\times n} \) mit vollen Rang \(m\). Dabei sind \(\alpha\) und \(\beta\) wählbare Parameter.
Hat jemand Ideen, wie ich so ein Problem der Abschätzung von EW angehen könnte?
Viele Grüße!
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ochen
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-26
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Hallo,
kannst du deine Frage etwas präziser stellen? Was genau weißt du denn über $A,B,\alpha,\beta$?
Vielleicht ist die Determinante auch die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ oder $\alpha\beta BB^T$?
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Huhoha
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Hallo,
ich weiß nur, dass \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und dass die Matrix \(A\) positiv definit und symmetrisch (und damit invertierbar) ist und die Matrix \(B\) vollen Rang m hat (m < n).
2020-11-26 09:47 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Vielleicht ist die Determinante auch die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ oder $\alpha\beta BB^T$?
Die Determinante von $\alpha\beta BB^T$ ist ja auf jeden Fall Null (da $BB^T$ singulär ist). Die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ scheint nicht das richtige Ergebnis zu liefern.
Viele Grüße und trotzdem Danke!
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Huhoha
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Ich bin selber etwas weitergekommen:
Man kann die Matrix folgendermaßen umschreiben
\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \frac{\beta}{\alpha} B A^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ 0 & -\beta B A^{-1}B^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A^{-1} B^T \\ 0 & I \end{pmatrix} \].
Wäre der Term $\frac{\beta}{\alpha}$ im Eintrag 2,1 der ersten Matrix nicht da, hätte ich ja eine Form $N^T M N$ vorliegen und mit der wahl $\alpha > 0, \beta < 0$ wäre die Matrix $M$ positiv definit und würde ja nach der Multiplication mit N von recht und links positiv definit bleiben.
Ich habe aber nicht ganz die Form $N^T M N$ wegen dem einen Term... Kann mir da jemand helfen?
Viele Grüße
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ochen
Senior 
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-26
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Hallo,
was genau hast du denn vor? Kannst du deine Frage bitte noch einmal anders stellen? Oder wie lautet die originale Aufgabenstellung?
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Huhoha
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Hallo,
ich will eigentlich nur die Eigenwerte der Matrix $M$ mit
\[M = \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0 \end{pmatrix} \]
berechnen, oder zumindest eine Abschätzung des größten und kleinsten Eigenwerts machen. Ich will also sowas wie
\[ \underline{\lambda} I \leq M \leq \bar{\lambda} I \]
brechenen, wenn $\underline{\lambda}$ und $\bar{\lambda}$ eine untere bzw. obere Grenze für die Eigenwerte darstellen. Ideal wäre das, wenn ich das in Abhängigkeit von $\alpha$ und $\beta$ hinschreiben kann. Das ist keine vorgegebene Aufgabenstellung, ich bin wegen einem Optimierungsproblem darüber gestolpert und wollte es dann lösen.
Tatsächlich habe ich nun herausgefunden, dass die Matrix $M$ positiv definit ist, wenn ich $\beta < 0$ und $\alpha>0$ wähle. Ich hätte also nun schonmal $\lambda_1 = 0$ in der oberen Gleichung. Dies folgt daraus, dass man $M$ als
\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ B A^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ (\beta - \alpha)B & -\beta B A^{-1}B^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A^{-1} B^T \\ 0 & I \end{pmatrix} \]
schreiben kann. Da die Matrix
$$\begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ (\beta - \alpha)B & -\beta B A^{-1}B^T \end{pmatrix} $$
wegen den vollen Rang von $B$ für $\beta < 0$ und $\alpha>0$ positiv definit ist.
Nun hänge ich am nächsten Problem: Kann ich eine obere Grenze für die Eigenwerte von $M$ angeben? Hat jemand Ideen?
Viele Grüße und schonmal vielen Dank!
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