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Analysis » Topologie » Weder offene noch abgeschlossene Menge
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Universität/Hochschule J Weder offene noch abgeschlossene Menge
3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-26


Hallo, ich wollte fragen, ob wenn ich eine weder abgeschlossene Menge noch offene habe die in 2 Mengen aufteilen kann die dann einzeln abgeschlossen und offen sind?

ich brauche dies für einen Beweis für Borel \(\sigma\) Algebren, und zwar für den Fall dass eine Menge halt nicht abgeschlossen oder offen ist.

X weder abgeschlossen noch offen:

\(X_1 \cup X_2 = X\), wobei \(X_1\) offen ist und \(X_2\) abgeschlossen ist

wir befinden uns übrigens im \(\mathbb{R}^n\)

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-26


Hallo,

welche Aufgabe genau bearbeitest du gerade?


wenn ich eine weder abgeschlossene Menge noch offene habe die in 2 Mengen aufteilen kann die dann einzeln abgeschlossen und offen sind?

Du möchtest also eine Menge $U$ die weder abgeschlossen noch offen ist, als Vereinigung von offenen und abgeschlossenen Mengen schreiben.

Also $U=A\cup B$ wobei $A$ etwa offen und $B$ abgeschlossen. Verstehe ich dich richtig?

Das sollte nicht gehen.
Das ist kein Gegenbeispiel:
Zum Beispiel: Die Teilmenge $(0,1]\cup (2,3)$ von $\mathbb{R}$ ist weder offen noch abgeschlossen, und sollte sich auch nicht so zerlegen lassen.

Für halboffene Intervalle $(0,1]=(0,\frac12)\cup [\frac12,1]$ geht das. Im allgemeinen sollte es nicht möglich sein.



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-26


Hallo 3marco6,

wenn ich es richtig verstehe, dann fragst Du Dich, ob es für jede (Borel-messbare) Menge \(X\subseteq\mathbb{R}^n\) Mengen \(X_1,X_2\subseteq\mathbb{R}^n\) gibt, mit \(X_1\) offen, \(X_2\) abgeschlossen und \(X=X_1\cup X_2\).

Das wäre natürlich zu schön um wahr zu sein. Z.B. muss für \(X=\mathbb{Q}\) sicherlich \(X_1=\emptyset\) gelten (sonst enthielte \(\mathbb{Q}\) ein offenes nichtleeres Intervall), dann wäre aber \(\mathbb{Q}=X_2\) abgeschlossen, was nicht stimmt.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26


@PrinzessinEinhorn: Es gilt doch für \(X=(0,1]\cup(2,3) \), dass \(X=X_1\cup X_2\) mit \(X_1=(0,1)\cup(2,3)\) und \(X_2=\{1\}\) oder verstehe ich da etwas falsch?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-26


Nein, du hast natürlich recht. An die offensichtliche Zerlegung mit einer Einpunktmenge, hatte ich spontan nicht gedacht...

Dein Beispiel mit $\mathbb{Q}$ ist sehr gut.




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3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Hallo, danke für eure Hilfe, ich brauchte dies um zu zeigen dass die Menge:


gleich B(A) ist, bei B(.) die Borelmenge ist und \(A \in \mathbb{R}^n\) ist.

Ich wollte dafür erstmal \(B(A) \subseteq S_A\) ist indem ich ein \(X \in B(A)\) nehme, dies kann ich dann ja auch als \(A \cap X\) schreiben und dann beweisen, dass \(X \in B( \mathbb{R} ^n)\) ist.

dafür wollte ich die fälle unterscheiden dass x abgeschlossen oder offen ist, beides ist dann ja klar, wie kann ich das dann aber für mengen zeigen die weder abgeschlossen noch offen sind?



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3marco6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Ich könnte doch auch einfach eine nicht offene und nicht abgeschlossene Menge als albzählbare Vereinigung von abgeschlossenen und offenen Mengen zeigen oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-26


Zwischen dem System der offenen Mengen $\mathcal O(\mathbb R^n)$ und $\mathcal O(A)$ besteht der Zusammenhang $\mathcal O(A)=\mathcal O(\mathbb R^n)|A$, wobei ich die Schreibweise $\mathcal F|A:=\{F\cap A:F\in\mathcal F\}$ verwende.

Was du für die von $\mathcal O(\mathbb R^n)$ und $\mathcal O(A)$ erzeugten Borelmengen $\sigma(\mathcal O(\mathbb R^n))=\mathcal B(\mathbb R^n)$ und $\sigma(\mathcal O(A))=\mathcal B(A)$ zeigen willst, entspricht der allgemeinen Beziehung$$ \sigma(\mathcal F)|A = \sigma(\mathcal F|A)
$$mit $\mathcal F:=\mathcal O(\mathbb R^n)$, denn $\sigma(\mathcal F)|A=\mathcal B(\mathbb R^n)|A=\{B\cap A:B\in\mathcal B(\mathbb R^n)\}$ und $\sigma(\mathcal F|A)=\sigma(\mathcal O(A))=\mathcal B(A)$.

Diese Beziehung kannst du für ein beliebiges Mengensystem zeigen. Dass bei dir $\mathcal F=\mathcal O(\mathbb R^n)$ ist, spielt dabei überhaupt keine Rolle. Ideen dafür findest du z.B. hier.



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