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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert von Gleichverteilung
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Universität/Hochschule J Erwartungswert von Gleichverteilung
Lilia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-26


Hallo😃
Versteht ihr vielleicht diese Aufgabe?

Ich verstehe nicht so ganz, wieso man hier ein $Y$ einführt. Liegt es daran dass $X$ hier gleichverteilt ist und dass wenn ich beispielsweise $E(3)$ nehme würde ja 3 herauskommen und dann kann ich dass ja im Gegensatz zu $Y=2n-1$ nicht verallgemeinern.🤔
Und wisst ihr vielleicht, wie man von $E(Y)$ auf $\frac{n+1}{2}$ kommt? Der EW wäre doch in diesem Fall als $\frac{a+b}{2}$ definiert und $Y$ ist doch $\frac{X+1}{2}$🤔.

Viele Grüße😄
Lilia



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-26 13:32 - Lilia im Themenstart schreibt:
Versteht ihr vielleicht diese Aufgabe?

Ja, durchaus. 😉

2020-11-26 13:32 - Lilia im Themenstart schreibt:
Ich verstehe nicht so ganz, wieso man hier ein $Y$ einführt. Liegt es daran dass $X$ hier gleichverteilt ist und dass wenn ich beispielsweise $E(3)$ nehme würde ja 3 herauskommen und dann kann ich dass ja im Gegensatz zu $Y=2n-1$ nicht verallgemeinern.🤔

Man tut das eben gerade so, dass \(Y\) gleichverteilt auf \(\lbrace 1,2,\dotsc,n\rbrace\) ist. Denn vermutlich kennt man zu diesem Zeitunkt die betreffenden Parameter für diese besonders einfache Gleichverteilung schon, oder man macht sich die Einfachheit zusammen mit bekannten Sätzen für Erwartungswert und Varianz transformierter Zufallsvariablen zunutze.

2020-11-26 13:32 - Lilia im Themenstart schreibt:
Und wisst ihr vielleicht, wie man von $E(Y)$ auf $\frac{n+1}{2}$ kommt?

Das ist einfach: das ist das arithmetische Mittel der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(n\), also gerade \(E(Y)\).

(Bedenke hier, dass auch \(Y\) gleichverteilt ist.)

2020-11-26 13:32 - Lilia im Themenstart schreibt:
 Der EW wäre doch in diesem Fall als $\frac{a+b}{2}$ definiert und $Y$ ist doch $\frac{X+1}{2}$🤔.

Das ist hier Zufall. Außerdem wurde doch die ZV \(Y\) extra eingeführt, um die Rechnungen zu vereinfachen, wozu sollte man diese Transformation sofort wieder rückgängig machen?

Also nochmals zusammengefasst: Sei \(Y\) eine auf \(\lbrace 1,2,\dotsc,n\rbrace\) gleichverteilte Zufallsvariable. Dann kennt man \(E(Y)\) und \(V(Y)\) schon, oder man möchte eine Zufallsvariable, bei der die Berechnung der beiden Parameter möglichst einfach ist.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Lilia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Danke😄👍
ich habe trotzdem noch eine kurze Rückfrage:
"Das ist einfach: das ist das arithmetische Mittel der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(n\), also gerade \(E(Y)\).

(Bedenke hier, dass auch \(Y\) gleichverteilt ist.)"

Ich verstehe leider immer noch nicht, warum das $\frac{n+1}{2}$ ergibt wenn es sich um das arithmetische Mittel handelt, müsste die Anzahl der Elemente in $Y$ doch gleich $2$ sein, oder?🤔


\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

zunächst folgende Pflichtlektüre... 🙂

Es ist

\[\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^n k=\frac{1+2+\dotsc +n}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2}\]
Jetzt klarer?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Lilia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Danke nochmal😃
Jetzt ist es klar und mit dem geschichtlichen Hintergrund bleibt es auch garantiert im Gedächtnis👍😄



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