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Strukturen und Algebra » Gruppen » Endliche oder unendliche Ordnung von Gruppenelementen
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Universität/Hochschule J Endliche oder unendliche Ordnung von Gruppenelementen
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo zusammen

Sei $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $1_G$.

Definition.
Die Ordnung des Gruppenelements $g \in G$ sei
\[
\ord(g) = \begin{cases}
\min\{n \in \N \mid g^n = 1_G\} &\text{, falls }\exists n \in \N : g^n=1_G \\
\infty &\text{, sonst.}
\end{cases}
\]
Meine Frage:
Hat im Allgemeinen jedes Element der Gruppe eine endliche Ordnung, wenn vorausgesetzt wird, dass die Gruppe selbst nur endlich viele Elemente enthält?

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27


Hi Phoensie,

in einer endlichen Gruppe besitzen alle Elemente auch eine endliche Ordnung. Diese teilt die Gruppenordnung.

Das folgt aus dem Satz von Lagrange.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27


Danke Diophant, damit hast du mir gerade mein Beweisargument für eine Aufgabe gerettet!😄👍



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-27


Eine andere Definition der Elementordnung, die ohne Fallunterscheidungen auskommt, und immer eine natürliche Zahl ist (statt $\infty$ taucht dann $0$ als Elementordnung auf), findest du hier:

LinkKonzepte der Gruppentheorie 2

Dort wird auch begründet, warum es die bessere Definition ist.



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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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