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  Lemma zur Klassengleichung mit Konjugationsklassen |
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Phoensie
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 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier
Sei $G$ eine Gruppe und $a \in G$ ein Element.
Definition: Konjugationsklasse: $C(a)=\{g^{-1}ag \mid g \in G\}$
Definition: Zentralisator: $Z(a)=\{g \in G \mid ga = ag\}$
Definition: Der Index $[G:H]$ einer Untergruppe $H < G$ sei die Anzahl Linksnebenklassen von $H$ in $G$ (d.h. die Anzahl Elemente der Menge $G/H$)
Aufgabe: Zeige $\ord(C(a)) = \big[G : Z(a) \big]$.
Habt ihr eine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen könnte (bzw. welche "Werkzeuge" ich anwenden muss)?
LG Phoensie\(\endgroup\)
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27
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Deine Definition der Konjugationsklasse ist falsch.
Du kannst die richtige Definition überall nachschlagen.
Zum Beweis der Gleichung verwende die Bahnformel, die für beliebige Gruppenwirkungen gilt. Es wirkt ja G auf G durch Konjugation.
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Phoensie
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27
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Ach ja, habe ich falsch geschrieben (Reihenfolge ...🙃). Ist jetzt korrigiert. Ich versuche das mal und melde mich wieder, wenn ich Resultate hab.😁
Gruss Phoensie
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Phoensie
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
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\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Für jedes $a \in G$ ist der Zentralisator $Z(a)$ eine Untergruppe von $G$ (Beweis hier). Bezüglich der Linkskonjugation von $G$ auf sich selbst (notiert als Binäroperator $\star$)
\[
\begin{align*}
\forall g,x \in G: g \star x := g^{-1}xg
\end{align*}
\]
haben die Konjugationsklasse und der Zentralisator von $a \in G$ die Form
\[
\begin{align*}
C(a) &= \{g \star a \mid g \in G\} \\
Z(a) &= \{g \in G \mid g \star a = a\}
\end{align*}
\]
$\ord(C(a))$ ist dann die Länge der Bahn von $a \in G$ bezüglich der Linkskonjugation und $Z(a)$ ist der Stabilisator von $a \in G$ bezüglich der Linkskonjugation. Die Bahnformel verrät uns dann die Behauptung,
\[
\begin{align*}
\ord(C(a)) = [G:\operatorname{Stab}_a(G)] = [G:Z(a)].
\end{align*}
\]\(\endgroup\)
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