Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Lemma zur Klassengleichung mit Konjugationsklassen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Lemma zur Klassengleichung mit Konjugationsklassen
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 380
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Liebe Matheplanetarier

Sei $G$ eine Gruppe und $a \in G$ ein Element.
Definition: Konjugationsklasse: $C(a)=\{g^{-1}ag \mid g \in G\}$
Definition: Zentralisator: $Z(a)=\{g \in G \mid ga = ag\}$
Definition: Der Index $[G:H]$ einer Untergruppe $H < G$ sei die Anzahl Linksnebenklassen von $H$ in $G$ (d.h. die Anzahl Elemente der Menge $G/H$)


Aufgabe: Zeige $\ord(C(a)) = \big[G : Z(a) \big]$.

Habt ihr eine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen könnte (bzw. welche "Werkzeuge" ich anwenden muss)?

LG Phoensie
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5477
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27


Deine Definition der Konjugationsklasse ist falsch.

Du kannst die richtige Definition überall nachschlagen.

Zum Beweis der Gleichung verwende die Bahnformel, die für beliebige Gruppenwirkungen gilt. Es wirkt ja G auf G durch Konjugation.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 380
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27


Ach ja, habe ich falsch geschrieben (Reihenfolge ...🙃). Ist jetzt korrigiert. Ich versuche das mal und melde mich wieder, wenn ich Resultate hab.😁
Gruss Phoensie



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 380
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Für jedes $a \in G$ ist der Zentralisator $Z(a)$ eine Untergruppe von $G$ (Beweis hier). Bezüglich der Linkskonjugation von $G$ auf sich selbst (notiert als Binäroperator $\star$)
\[
    \begin{align*}
        \forall g,x \in G: g \star x := g^{-1}xg
    \end{align*}
\] haben die Konjugationsklasse und der Zentralisator von $a \in G$ die Form
\[
    \begin{align*}
        C(a) &= \{g \star a \mid g \in G\} \\
        Z(a) &= \{g \in G \mid g \star a = a\}
    \end{align*}
\] $\ord(C(a))$ ist dann die Länge der Bahn von $a \in G$ bezüglich der Linkskonjugation und $Z(a)$ ist der Stabilisator von $a \in G$ bezüglich der Linkskonjugation. Die Bahnformel verrät uns dann die Behauptung,
\[
    \begin{align*}
        \ord(C(a)) = [G:\operatorname{Stab}_a(G)] = [G:Z(a)].
    \end{align*}
\]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]