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| Autor |
  Unabhängige natürliche Filtration |
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luvo
Junior 
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 5
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Hallo! Ich hoffe jemand kann mir bei der folgenden Frage helfen:
Wenn die Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots$ i.i.d. sind und wir $S_n = X_1 + \dots +X_n$ definieren, sind dann auch die $\sigma$-Algebren $\sigma ( S_1), \sigma (S_1, S_2), \sigma(S_1,S_2,S_3), \dots$ usw alle unabhängig?
Im Grunde frage ich mich also (wenn ich alles richtig verstanden habe) ob für einen Random Walk mit $X_0=0$ die natürliche Filtration des stochastisches Prozesses unabhängig ist.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar!
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AnnaKath
Senior 
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27
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Huhu Iovo und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!
Eine Familie $(Z_j)_{j\in J}$ ist genau dann stochastisch unabhängig, wenn die Familie von Initial-$\sigma$-Algebren $(\sigma(Z_j))_{j\in J}$ unabhängig ist.
Insofern ist zumindest verständlich, inwieweit Du Dir die Frage stellst.
Betrachte die beiden heikeln Punkte, die für einen Beweis nötig wären:
- Sind $Z_1, Z_2$ und $Z_3$ paarweise unabhängig, ist dann auch $\sigma(Z_1, Z_2)$ unabhängig von $\sigma(Z_3)$?
- Sind die $S_j$ von einander unabhängig?
Wenn Du beides zeigen kannst, ist der Beweis für Deine Aussage (mit offensichtlicher Abrundung) geführt.
Allerdings wäre ich sehr überrascht, wenn Dir diese Beweise gelingen...
Die erste Aussage ist i.A. falsch und die zweite solltest Du leicht selbst beurteilen können
lg, AK.
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luvo
Junior
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Vielen Dank für deine Antwort! :)
Betrachte die beiden heikeln Punkte, die für einen Beweis nötig wären:
- Sind $Z_1, Z_2$ und $Z_3$ paarweise unabhängig, ist dann auch $\sigma(Z_1, Z_2)$ unabhängig von $\sigma(Z_3)$?
- Sind die $S_j$ von einander unabhängig?
Also meinem Verständnis nach dürften die $S_n$ im Allgemeinen eigentlich nicht unabhängig sein, oder? Da sich $S_n$ ja aus $S_{n-1}$ und $X_n$ zusammensetzt.
Ok das heißt also die natürliche Filtration ist nicht unabhängig.
Aber dafür ist $\sigma(S_1, \dots , S_n)$ unabhängig von $X_{n+1}, X_{n+2}, \dots$ oder? Denn Korollar 7.3 aus Bauers Wahrscheinlichkeitstheorie sagt ja: "Eine endliche Familie von Zufallsvariablen $(X_i)_{i=1, \dots ,n+1}$ ist genau dann unabhängig, wenn sowohl $X_1, \dots , X_n$ unabhängig sind als auch $X_{n+1}$ unabhängig von $\sigma(X_1, \dots, X_n)$." und es gilt $\sigma(X_1, \dots, X_n)=\sigma(S_1, \dots, S_n)$.
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AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
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Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-28
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Huhu Iuvo,
2020-11-28 12:50 - luvo in Beitrag No. 2 schreibt:
Ok das heißt also die natürliche Filtration ist nicht unabhängig. Genau.
Aber dafür ist $\sigma(S_1, \dots , S_n)$ unabhängig von $X_{n+1}, X_{n+2}, \dots$ oder?
Ja, das stimmt.
Hier ist das ohnehin klar, da der Random Walk ein (preversibler) Markovprozess ist.
lg, AK.
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luvo
Junior
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Ja, das stimmt.
Sehr gut, dann hab ich das immerhin schon verstanden :)
Hier ist das ohnehin klar, da der Random Walk ein Markovprozess ist.
Mit Markovprozessen habe ich mich noch nicht beschäftigt, die kommen erst im nächsten Kapitel. Aber dann werde ich mir das nochmal anschauen!
Vielen Dank für deine Hilfe!
LG luvo
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