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Integral von e^(-ax)*h(x) existiert, falls h(x) Lebesgue-integrierbar ist |
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
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Hallo,
 
\ Wenn h:[0,\inf[ -> \IR Borel-messbar und Lebesgue-integrierbar ist, zeige, dass das Integral int(e^(-ax)*h(x),x,0,\inf) für a>=0 existiert (also endlich ist. Danach soll man noch das Integral berechnen für a->0.
Ich hab versucht, 2x partiell zu integrieren um irgendwie einen allgemeinen Ausdruck zu bekommen, wo ich dann möglicherweise die Integrierbarkeit von h(x) ausnutzen kann, aber das führt zu nichts. Daher hab ich erst mal keine weitere Ideen und freue mich auf Hilfe.
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qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27
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Hallo ILoveMath3,
verwende z.B. einfach, dass eine messbare Funktion Lebesgue(!)-integrierbar ist, genau dann wenn ihr Betrag Lebesgue-integrierbar ist. Für den zweiten Teil würdest du ja gerne den Grenzwert ins Integral ziehen. Wann geht das?
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27
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qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-28
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Das geht in die richtige Richtung, aber es muss nicht gelten, dass $e^{-ax}h(x) \leq h(x)$, denn $h$ kann auch negativ werden.
Ich habe die Formulierung "genau dann wenn" in meinem letzten Beitrag mit Absicht genutzt. Du musst zeigen, dass $\int_0^\infty |e^{-ax} h(x)| \, \mathrm dx< \infty$.
Falls dir die Aussage aus meinem letzten Beitrag nicht direkt klar sein sollte, solltest du dir auf jeden Fall noch einmal die Definition des Lebesgue-Integrals angucken. Dann solltest du dir auch deine Frage "ist $\int_0^\infty h(x) \, \mathrm dx < \infty$" selbst beantworten können. Wieso ist der Ausdruck "$\int_0^\infty h(x)\, \mathrm dx$" überhaupt wohldefiniert? Für eine messbare Funktion $f:[0, \infty) \to \mathbb R$ ist das Lebesuge-Integral $\int_0^\infty |f(x)| \, \mathrm dx$ immer definiert - entweder es ist endlich oder unendlich. Das Integral $\int_0^\infty f(x) \, \mathrm dx$ muss aber noch nicht mal definiert sein.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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\ int(e^(-ax)*h(x),x,0,\inf) <= int(abs(e^(-ax)*h(x)),x,0,\inf) <= int(abs(e^(-ax))*abs(h(x)), x , 0,\inf) <= int(abs(h(x)),x,0,\inf) < \inf Wäre das die richtige Abschätzung? Und ich verstehe immer noch nicht, was du mit ''Eine messbare Funktion ist integrierbar genau dann wenn sein Betrag integrierbar ist'' meinst. Das würde ja u.a. nach unserer Definition heißen, dass abs(f(x)) integrierbar ist genau dann wenn int(abs(abs((f(x)))) <\inf ist (doppelter Betrag), was nicht wirklich eine gewinnbringende Tatsache ist. Vielleicht sehe ich da was falsch.
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qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-28
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Du kannst den Ausdruck $\int_0^\infty e^{-ax} h(x) \, \mathrm dx$ nicht gegen irgendwas abschätzen, wenn du nicht weißt ob er überhaupt definiert ist.
Wegen $|e^{-ax} h(x)| \geq 0$ für alle $x\geq 0$ ist das Integral $\int_0^\infty |e^{-ax} h(x)| \, \mathrm dx$ auf jeden Fall wohldefiniert - aber halt möglicherweise unendlich. Du hast dir richtig überlegt, dass $\int_0^\infty |e^{-ax} h(x)| \, \mathrm dx < \infty$. Daraus folgt aber (siehe oben), dass das Integral $\int_0^\infty e^{-ax} h(x) \, \mathrm dx$ existiert und endlich ist.
Ich würde dir wie gesagt empfehlen, dir noch einmal die Definition des Integrals anzugucken. Es gibt eben nicht nur die Möglichkeiten: Integral ist endlich oder Integral ist $-\infty$ oder $+\infty$, sondern es gibt auch die Möglichkeit "Integral macht überhaupt keinen Sinn". Zum Beispiel ist das Integral $\int_1^\infty \sin(x)/x \, \mathrm d x$ nicht als Lebesgue-Integral definiert (aber als uneigentliches Riemann-Integral). Ist unsere Funktion aber nicht-negativ so ist das Integral zumindest definiert - aber halt ggf. unendlich.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Wir haben ein Lemma, welche uns solche Integrale abschätzen lässt, falls die beteiligten Integranden alle messbar sind. Sprich, wenn e^(-ax)*h(x) messbar ist (damit automatisch |e^(-ax)*h(x)| messbar), so darf ich diese Abschätzung machen. Aber vielleicht hab ich das ebenfalls nicht richtig verstanden, was denkst du darüber?
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qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-28
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Wie gesagt, es reicht nicht aus, dass eine Funktion messbar ist, damit man das Integral über diese Funktion bilden kann.
Was ist denn deiner Meinung nach $\int_0^\infty \sin(x) \, \mathrm dx$?
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Okay, ich hab dieses Lemma nicht richtig gelesen bzw. es galt nur für >>nichtnegative<< -messbare Funktionen. Allgemein darf ich erst abschätzen, sobald die messbaren Funktionen auch integrierbar sind.

\ Auch ist, wenn int(abs(h(x)),x) <\inf auch automatisch int(h(x),x) < \inf (steht ebenfalls in einer der Definitionen). D.h. nachdem ich gezeigt hab, dass e^(-ax) * h(x) messbar ist, so weiß ich, dass aufjedenfall abs(e^(-ax) *h(x)) messbar ist. Da dies eine nichtnegative Funktion ist, darf ich das nach oben abschätzen. Und aus der Integrierbarkeit vom dieser Funktion folgt die Endlichkeit des Integrals von e^(-ax) * h(x). Wäre das logisch? Außerdem: Wie begründe ich die Messbarkeit von e^(-ax)*h(x)? e^(-ax) ist als stetige Funktion messbar, h(x) ist als (Borel)-messbar vorausgesetzt. Ist die Multiplikation dann auch messbar? int(sin(x),x,0,\inf) führt zu nichts - int(abs(sin(x)),x,0,\inf) <= int(1,x,0,\inf) -> \inf, d.h. ist nicht integrierbar.
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ochen
Senior  Dabei seit: 09.03.2015 Mitteilungen: 3039
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 |     Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-28
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Hallo,
um zu begründen, dass $\int_0^{\infty}|\sin(x)|\,\mathrm dx=\infty$ gilt, musst du den Integranden nicht nach oben sondern nach unten abschätzen. Eine Abschätzung nach oben hilft hier leider nicht weiter.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Da wüsste ich nicht wie - aber das ist nun nicht so wichtig, wenn alles andere in meinen vorherigen Beitrag sonst stimmt.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-29
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\ Hallo ILoveMath3, das geht mit der Definition der Stetigkeit. Überlege dir, ob lim(a_n->a,s(a_n)) gleich s(a) ist für jede beliebige Folge a_n->a. Dabei muss man Grenzwertbildung und Integral vertauschen und benötigt den Satz von der majorisierten Konvergenz. Viele Grüẞe, Stefan
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_majorisierten_Konvergenz
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Okay, ich versuch das mal (hoffentlich richtig) anzuwenden:
 
\ Es sei ((a_n))_(n \in \IN) eine beliebe Folge in [0,\inf[ mit a = \lim(n->\inf, a_n) \in [0,\inf[. Außerdem definiere s_n: [0,\inf[ -> \R, x->e^(-a_n x) h(x), wobei diese für alle n \in \IN Borel-messbar ist (mir fehlt immer noch da eine Begründung) und \lim(n->\inf, s_n) = s (darf ich das annehmen?). Außerdem ist, da h(x) integrierbar ist, auch automatisch abs(h(x)) integrierbar (laut qzwru sollte das gelten, da wir hier von Lebesgue-Maß ausgehen). D.h. es gilt für alle n\in \IN und x\in [0,\inf[: abs(s_n(x)) <= abs(h(x)), womit abs(h(x)) eine Majorante darstellt. Es gilt also nach dem Satz der majorisierten Konvergenz: \lim(n->\inf, int(s_n,x,0,\inf)) = int(s,x,0,\inf) und somit \lim(n->\inf,s(a_n)) = \lim(n->\inf, int(e^(-a_n x) h(x),x,0,\inf)) = int(e^(-ax) h(x), x,0,\inf) = s(a) Damit ist s stetig in a und da a_n eine beliebe Folge war, stetig für jedes a \in [0,\inf[ Wäre das so richtig und ausreichend für die Stetigkeit? Nebenbei könnte ich damit anscheinend auch die Integrierbarkeit von e^(-ax) h(x) zeigen, oder?
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-29
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Das passt schon bis auf die noch offenen kleineren Details.
 
\ \lim(n->\inf,s(a_n)) = .... = s(a) Damit ist s stetig in a und da a_n eine beliebe Folge war, stetig für jedes a \in [0,\inf[ Wäre das so richtig und ausreichend für die Stetigkeit?
Ja, damit ist die Definition der Stetigkeit der Funktion s(a) in einem beliebigen Punkt a erfüllt.
So ist der verlinkte Satz von der majorisierten Konvergenz auch formuliert: Zuerst wird festgestellt, daß die Grenzfunktion f integrierbar ist, und erst dann wird das Integral dieser Funktion angewendet.
Das hast du jetzt schon mehrfach im Thread geschrieben, stimmt aber nicht. Wenn der Betrag einer Funktion integrierbar ist, ist die Funktion selbst auch integrierbar. Die Umkehrung stimmt nicht. Wenn das Integral über h existiert und endlich ist, kann das Integral über den Betrag von h auch unendlich sein. Beispiel dafür ist eine Funktion h, die um die x-Achse pendelt und deshalb abwechselnd positive und negative Beiträge zum Integral liefert, die aber mit Absolutbetrag insgesamt Unendlich ergeben. Ich bin mir jetzt nicht mehr sicher, ob in dem Fall h integrierbar genannt wird oder nicht, weil das in Beitrag No.1 anders steht.
Bin ich auch unsicher, ich würde das mit Produkt zweier messbarer Funktionen begründen (Messbare Funktionen).
Das folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion (und auch wieder Produkt zweier stetiger Funktionen, h(x) ist als Funktion von a betrachtet eine konstante Funktion und deshalb für festes x eine stetige Funktion von a). Also das kann man bei Unsicherheit schon mal genauer untersuchen aber danach auch ohne weiteren Kommentar annehmen.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Das hast du jetzt schon mehrfach im Thread geschrieben, stimmt aber nicht. Wenn der Betrag einer Funktion integrierbar ist, ist die Funktion selbst auch integrierbar. Die Umkehrung stimmt nicht. Wenn das Integral über h existiert und endlich ist, kann das Integral über den Betrag von h auch unendlich sein. Beispiel dafür ist eine Funktion h, die um die x-Achse pendelt und deshalb abwechselnd positive und negative Beiträge zum Integral liefert, die aber mit Absolutbetrag insgesamt Unendlich ergeben. Ich bin mir jetzt nicht mehr sicher, ob in dem Fall h integrierbar genannt wird.
 
\ Also h ist folgendermaßen genauer definiert: h: [0,\inf[ -> \IR, welche nach wie vor lebesgue-integrierbar, borel messbar ist. Ändert das was? Edit: das steht doch schon oben, daher kannst du alles bis hierhin ignorieren. Ansonsten weiß ich nicht mehr, gegen welche majorisierte integrierbare Funktion ich s_n(x) nach oben abschätzen kann.
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.16, eingetragen 2020-11-29
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Die majorisierende Funktion steht auch schon im Thread
2020-11-27 23:16 - ILoveMath3 in Beitrag No. 2 schreibt:
Bzgl dem 1. Teil:
 
\ Geht das in Richtung einer Abschätzung nach oben? So ist e^(-ax) für a>=0 und x\in [0,\inf[ immer kleiner gleich 1. D.h. e^(-ax)*h(x) <= h(x). Wir wissen, dass h(x) integrierbar ist, d.h. int(abs(h),x) < \inf. Ist aber auch int(h,x)<\inf ? Verstehe leider nicht, inwiefern es was bringt, dass, wenn h(x) Lebesgue integrierbar ist, auch abs(h(x)) Lebesgue-integrierbar ist.
da musst du dir nur noch die letzte Frage dort beantworten. Wenn |h| integrierbar ist, ist dann auch h integrierbar?
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Irgendwie kann ich genau diesen Punkt wohl nicht verstehen wie man im Verlaufe des Threads schon gesehen hat..
 
\ Nach unserer Definition ist eine messbare Funktion f integrierbar, wenn int(abs(f)) < \inf. D.h. wenn h integrierbar ist, dann gilt int(abs(h)) <\inf. D.h. die Aussage abs(h) ist integrierbar, bedeutet nach dieser Definition, dass int(abs(abs(h))) = int(abs(h)) <\inf. Somit sollte aus der Integrierbarkeit von h mit int(abs(h)) <\inf auch die Integrierbarkeit von abs(h) folgen. Wo liegt hier mein Denkfehler?
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.18, eingetragen 2020-11-29
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\ Vor der Definition ''eine messbare Funktion f heißt integrierbar, wenn int(abs(f)) < \inf '' muss in einer Bemerkung oder Lemma oder Aufgabe oder so nebenbei bewiesen worden sein, dass aus int(abs(f)) < \inf auch int(f) < \inf folgt. Sonst sehe ich keinen Sinn in dieser Definition. Warum sollte, wenn int(abs(f)) < \inf ist aber int(f) nicht, f integrierbar genannt werden? Das funktioniert erst, wenn aus int(abs(f)) < \inf auch int(f) < \inf folgt. EDIT: Ich kenne diese Definition unter der Bezeichnung ''absolut integrierbar''. Deswegen bin ich auch durcheinandergekommen.
absolut integrierbar?
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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\ Wir haben tatsächlich genau das implizit gezeigt, dass aus \int(abs(f)) <\inf auch \int(f) <\inf folgt. Und nochmal: Welche majorisierte Funktion soll man nehmen? Ich hab nur die Auswahl zwischen abs(h) und abs(e^(-ax) h(x)). Und wenn abs(e^(-ax) h(x)) klappt, dann sollte es auch keine Probleme geben, abs(h) zu nehmen... Möchte mich dennoch schonmal bedanken für deine Hilfe bisher!
Edit: Anscheinend haben wir die ganze Zeit mit der absoluten Integrierbarkeit gearbeitet.
Edit 2: Quatsch, unsere Definitionsmenge kann beliebig sein, muss nicht die Reelle Zahlen sein.
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
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 |     Beitrag No.20, eingetragen 2020-11-29
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Hier stand als dritte Auswahl h selbst, das ist aber auch Quatsch. |h| sollte eigentlich funktionieren.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
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 |     Beitrag No.22, eingetragen 2020-11-29
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Ja nee, hab ich auch grad gemerkt. Ich muss langsamer antworten. Also |h| sehe ich als besten Kandidat bis jetzt.
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.23, eingetragen 2020-11-29
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Deinem Edit stimme ich auch zu.
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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\ Und damit wäre die Stetigkeit erstmal erledigt :) Bzgl. der 2. Frage, was passiert, wenn a->0 geht: Dadurch, dass s nun stetig ist, gilt: \lim(a->0,int(e^(-ax)*h(x))) = s(0) = int(h(x)). Macht das Sinn? Sonst wäre ich erstmal fertig :)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]
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StefanVogel
Senior  Dabei seit: 26.11.2005 Mitteilungen: 3745
Herkunft: Raun
 |     Beitrag No.25, eingetragen 2020-11-29
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ILoveMath3
Aktiv  Dabei seit: 06.11.2019 Mitteilungen: 89
 |     Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.27, eingetragen 2020-11-29
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2020-11-29 16:12 - StefanVogel in Beitrag No. 14 schreibt:
Das hast du jetzt schon mehrfach im Thread geschrieben, stimmt aber nicht. Wenn der Betrag einer Funktion integrierbar ist, ist die Funktion selbst auch integrierbar. Die Umkehrung stimmt nicht. Wenn das Integral über h existiert und endlich ist, kann das Integral über den Betrag von h auch unendlich sein. Beispiel dafür ist eine Funktion h, die um die x-Achse pendelt und deshalb abwechselnd positive und negative Beiträge zum Integral liefert, die aber mit Absolutbetrag insgesamt Unendlich ergeben.
Hallo Stefan,
das habe auch ich schon geschrieben (in Beitrag 1) und es stimmt auch. Wir haben es hier mit dem Lebesgue-Integral zu tun und bei diesem müssen Positiv- und Negativteil der Funktion beide unabhängig voneinander integrierbar sein. Zum Beispiel existiert das Integral $\int_0^\infty \sin(x)/x \, \mathrm dx$ als uneigentliches Riemann-Integral, aber nicht als Lebesgue-Integral.
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