\
Wenn h:[0,\inf[ -> \IR Borel-messbar und Lebesgue-integrierbar ist, zeige, dass das Integral int(e^(-ax)*h(x),x,0,\inf) für a>=0 existiert (also endlich ist.

Danach soll man noch das Integral berechnen für a->0. 

\
Geht das in Richtung einer Abschätzung nach oben? So ist e^(-ax) für a>=0 und x\in [0,\inf[ immer kleiner gleich 1. D.h. e^(-ax)*h(x) <= h(x). Wir wissen, dass h(x) integrierbar ist, d.h. int(abs(h),x) < \inf. Ist aber  auch int(h,x)<\inf ?

Verstehe leider nicht, inwiefern es was bringt, dass, wenn h(x) Lebesgue integrierbar ist, auch abs(h(x)) Lebesgue-integrierbar ist.

\
int(e^(-ax)*h(x),x,0,\inf) <= int(abs(e^(-ax)*h(x)),x,0,\inf) <= int(abs(e^(-ax))*abs(h(x)), x , 0,\inf) <= int(abs(h(x)),x,0,\inf) < \inf

Wäre das die richtige Abschätzung?
Und ich verstehe immer noch nicht, was du mit ''Eine messbare Funktion ist integrierbar genau dann wenn sein Betrag integrierbar ist'' meinst.

Das würde ja u.a. nach unserer Definition heißen, dass abs(f(x)) integrierbar ist genau dann wenn int(abs(abs((f(x)))) <\inf ist (doppelter Betrag), was nicht wirklich eine gewinnbringende Tatsache ist. Vielleicht sehe ich da was falsch.

\
Auch ist, wenn int(abs(h(x)),x) <\inf auch automatisch int(h(x),x) < \inf (steht ebenfalls in einer der Definitionen). 

D.h. nachdem ich gezeigt hab, dass e^(-ax) * h(x) messbar ist, so weiß ich, dass aufjedenfall abs(e^(-ax) *h(x)) messbar ist. Da dies eine nichtnegative Funktion ist, darf ich das nach oben abschätzen. Und aus der Integrierbarkeit vom dieser Funktion folgt die Endlichkeit des Integrals von e^(-ax) * h(x). Wäre das logisch? 

Außerdem: Wie begründe ich die Messbarkeit von e^(-ax)*h(x)? 
e^(-ax) ist als stetige Funktion messbar, h(x) ist als (Borel)-messbar vorausgesetzt. Ist die Multiplikation dann auch messbar? 


int(sin(x),x,0,\inf) führt zu nichts - int(abs(sin(x)),x,0,\inf) <= int(1,x,0,\inf) -> \inf, d.h. ist nicht integrierbar.

\
die Funktion s: [0,\inf[ -> \IR, a->\int(e^(-ax) h(x),x,0,\inf) stetig ist?

\
Hallo ILoveMath3,
das geht mit der Definition der Stetigkeit. Überlege dir, ob lim(a_n->a,s(a_n)) gleich s(a) ist für jede beliebige Folge a_n->a. Dabei muss man Grenzwertbildung und Integral vertauschen und benötigt den Satz von der majorisierten Konvergenz.

Viele Grüẞe,
  Stefan

\
Es sei ((a_n))_(n \in \IN) eine beliebe Folge in [0,\inf[ mit a = \lim(n->\inf, a_n) \in [0,\inf[. Außerdem definiere s_n: [0,\inf[ -> \R, x->e^(-a_n x) h(x), wobei diese für alle n \in \IN Borel-messbar ist (mir fehlt immer noch da eine Begründung) und \lim(n->\inf, s_n) = s (darf ich das annehmen?). 

Außerdem ist, da h(x) integrierbar ist, auch automatisch abs(h(x)) integrierbar (laut qzwru sollte das gelten, da wir hier von Lebesgue-Maß ausgehen). D.h. es gilt für alle n\in \IN und x\in [0,\inf[: 
abs(s_n(x)) <= abs(h(x)), womit abs(h(x)) eine Majorante darstellt. Es gilt also nach dem Satz der majorisierten Konvergenz: 

\lim(n->\inf, int(s_n,x,0,\inf)) = int(s,x,0,\inf)
 und somit 
\lim(n->\inf,s(a_n)) = \lim(n->\inf, int(e^(-a_n x) h(x),x,0,\inf)) = int(e^(-ax) h(x), x,0,\inf) = s(a)

Damit ist s stetig in a und da a_n eine beliebe Folge war, stetig für jedes a \in [0,\inf[

Wäre das so richtig und ausreichend für die Stetigkeit? Nebenbei könnte ich damit anscheinend auch die Integrierbarkeit von e^(-ax) h(x) zeigen, oder?

\

Also h ist folgendermaßen genauer definiert: h: [0,\inf[ -> \IR, welche nach wie vor lebesgue-integrierbar, borel messbar ist. Ändert das was? Edit: das steht doch schon oben, daher kannst du alles bis hierhin ignorieren.

Ansonsten weiß ich nicht mehr, gegen welche majorisierte integrierbare Funktion ich s_n(x) nach oben abschätzen kann.

\

Nach unserer Definition ist eine messbare Funktion f integrierbar, wenn int(abs(f)) < \inf. D.h. wenn h integrierbar ist, dann gilt int(abs(h)) <\inf. 

D.h. die Aussage abs(h) ist integrierbar, bedeutet nach dieser Definition, dass int(abs(abs(h))) = int(abs(h)) <\inf. Somit sollte aus der Integrierbarkeit von h mit int(abs(h)) <\inf auch die Integrierbarkeit von abs(h) folgen. 

Wo liegt hier mein Denkfehler?

\
Vor der Definition

''eine messbare Funktion f heißt integrierbar, wenn int(abs(f)) < \inf ''

muss in einer Bemerkung oder Lemma oder Aufgabe oder so nebenbei bewiesen worden sein, dass aus int(abs(f)) < \inf auch int(f) < \inf folgt. Sonst sehe ich keinen Sinn in dieser Definition. Warum sollte, wenn int(abs(f)) < \inf ist aber int(f) nicht, f integrierbar genannt werden? Das funktioniert erst, wenn aus int(abs(f)) < \inf auch int(f) < \inf folgt.

EDIT: Ich kenne diese Definition unter der Bezeichnung ''absolut integrierbar''. Deswegen bin ich auch durcheinandergekommen.

\

Wir haben tatsächlich genau das implizit gezeigt, dass aus \int(abs(f)) <\inf auch \int(f) <\inf folgt. 

Und nochmal: Welche majorisierte Funktion soll man nehmen? Ich hab nur die Auswahl zwischen abs(h) und abs(e^(-ax) h(x)). Und wenn abs(e^(-ax) h(x)) klappt, dann sollte es auch keine Probleme geben, abs(h) zu nehmen...

Möchte mich dennoch schonmal bedanken für deine Hilfe bisher!

\
Das hab ich die ganze Zeit ausgeblendet, denn abs(e^(-a_n x) h(x)) <= h(x) gilt ja eben nicht, wenn h(x) < 0. Oder hab ich da was übersehen?

\

Und damit wäre die Stetigkeit erstmal erledigt :)

Bzgl. der 2. Frage, was passiert, wenn a->0 geht: 
Dadurch, dass s nun stetig ist, gilt:

\lim(a->0,int(e^(-ax)*h(x))) = s(0) = int(h(x)). Macht das Sinn?
Sonst wäre ich erstmal fertig :)

\
s(0) = int(h(x)). Dafür kann man einfach das a=0 ins Integral einsetzen. Für das erste Gleichheitszeichen \lim(a->0,s(a)) = s(0) muss man den ganzen Aufwand aus dem Thread machen mit Stetigkeit nachweisen und dass man Grenzwert und Integral auch vertauschen kann und dass das nur funktioniert wenn h die Voraussetzung erfüllt.