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Mathematik » Topologie » Familien abgeschlossener Teilmengen
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Universität/Hochschule Familien abgeschlossener Teilmengen
08Student15
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-28


Hallo, ich habe folgendes Problem bei dem ich mir unsicher bin:
Gegeben sei eine Familie abgeschlossener Teilmengen des $\mathbb{R}^2$, $\{U_\alpha \}_{\alpha \in I}$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist.
zu zeigen ist zunächst, dass $\bigcap_{\alpha \in I} U_\alpha $abgeschlossen ist.

Wir wissen, dass eine Menge M abgeschlossen ist wenn für jede konvergente Folge $x_1, ... , x_k,...\stackrel{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x$ mit $x_i \in M$ gilt, dass $x \in M$.

Für den Schnitt muss also gelten, dass für die Folge $\underbrace{y_1, ... , y_k, ...}_{\in U_1 \cap U_2} \stackrel{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} y$, wobei $y \in U_1 \cap U_2$ sein soll. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Schnittmenge.


Edit:
Ich muss erstmal folgern, dass die Abgeschlossenheit für $\bigcap_{\alpha \in I} U_\alpha $ gilt. Dazu würde ich $\bigcap_{\alpha \in I} U_\alpha = U_1 \cap U_2 ... \cap U_i ;   1, ... , i \in I$ betrachten, wobei $U_1 \cap U_2 ... \cap U_i  ;   1, ... , i \in I$ auch geschrieben werden kann als $(U_1 \cap U_2) \cap U_3 ... \cap U_i , 1, ... , i \in I$. $U_1 \cap U_2$ ist abgeschlossen, das wurde gezeigt, also kann man durch schrittweises Klammern auch zeigen, dass $\bigcap_{\alpha \in I} U_\alpha $ abgeschlossen ist.
Ist das so weit erstmal korrekt? Anschlussfragen hätte ich dann noch

 
Vielen Dank bis hierhin



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 12:43 - 08Student15 im Themenstart schreibt:
Stimmt das so weit erstmal?

Ja (wobei mir "dies folgt unmittelbar aus der Definition der Schnittmenge" zu knapp erscheint), aber es reicht nicht aus, zwei Mengen zu betrachten. Von da aus kommst du zwar zu beliebigen endlichen Schnitten, aber nicht zu beliebigen Schnitten.

2020-11-28 12:43 - 08Student15 im Themenstart schreibt:
Im Anschluss ist zu zeigen, dass die Abgeschlossenheit auch für  $A\cup B$ gilt, wobei $A,B$ ebenfalls abgeschlossene Mengen sind.

Wenn $x_k\in A\cup B$ für alle $k$, dann existiert eine Teilfolge von $(x_k)$, die komplett in $A$ oder komplett in $B$ liegt.

--zippy



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08Student15
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


hi Zippy,

ich hab gemerkt, dass ich da zu voreilig war und einen Schritt ausgelassen hab, daher wurde die Frage nochmal ergänzt. Ich hoffe man blickt jetzt überhaupt noch durch



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 12:43 - 08Student15 im Themenstart schreibt:
also kann man durch schrittweises Klammern auch zeigen, dass $\bigcap_{\alpha \in I} U_\alpha $ abgeschlossen ist.

Nein, dass kann man nicht. Du kannst beliebige Schnitte weder auf endliche noch auf abzählbare zurückführen. Dafür kann eine Indexmenge "viel zu viele" Indizes enthalten.

Aber diese Zurückführerei ist auch gar nicht erforderlich. Du kannst den Beweis von Anfang an mit der ganzen Familie von abgeschlossenen Mengen führen. (Das drängt sich geradezu auf.)

Bei der Vereinigung ist das ganz etwas anderes. Da lohnt es sich, mit zwei Mengen anzufangen, weil man über endliche Vereinigungen ohnehin nicht hinauskommt.

$\bigr[\,$$\bigcup_{n=0}^\infty[1/n,1]=(0,1]$ zeigt, dass schon abzählbare Vereinigungen abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sein müssen.$\bigl]$



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08Student15
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Wenn wir den Schnitt $\bigcap_{\alpha \in I} U_{\alpha} $ betrachten, dann enthält dieser konvergente Teilfolgen, die in allen $U_\alpha$ liegen. Da alle $U_\alpha$ abgeschlossen sind, liegt auch der Grenzwert jeweils in $U_\alpha$ und somit in $\bigcap_{\alpha \in I}$.

Ist es das, worauf der Hinweis abzielt?




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-29


Nein. Du brauchst hier keine Teilfolgen.

Der Beweis ist eine reine Formalität. Es passiert nichts.

Nimm eine konvergente Folge $x_n \to x$ mit $x_n \in \bigcap_{\alpha} U_{\alpha}$. Für jedes $\alpha$ ist dann $x_n \to x$ und $x_n \in U_{\alpha}$, also $x \in U_{\alpha}$. Das zeigt $x \in \bigcap_{\alpha} U_{\alpha}$.



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08Student15
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Danke @triceratops.
Darauf wollte ich irgendwie hinaus, aber die Formalisierung war die große Hürde, da fehlen mir einfach auch Grundlagen für die ganze Thematik.

Ich würde dann nochmal auf den zweiten Teil meines Problems zu sprechen kommen.

Wenn $A \cup B$ die Vereinigung von abgeschlossenen Mengen ist, dann ist $A \cup B$ auch abgeschlossen.

In $A \cup B$ existiert eine Folge $x_n$, die entweder in $A$ oder in $B$ liegt. Da sowohl $A$ als auch $B$ abgeschlossen sind, liegt der Grenzwert der Folge auch in $A$ oder $B$ und somit in $A \cup B$. Daraus folgt die Abgeschlossenheit von $A \cup B$.
Korrekt?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-30


2020-11-29 13:20 - 08Student15 in Beitrag No. 6 schreibt:
In $A \cup B$ existiert eine Folge $x_n$, die entweder in $A$ oder in $B$ liegt.

Damit $A\cup B$ abgeschlossen ist, muss der Grenzwert einer beliebigen konvergenten Folge aus $A\cup B$ wieder in $A\cup B$ liegen. Dafür reicht es erstmal nicht nicht aus, dass nur bestimmte konvergente Folgen (hier: solche aus $A$ oder aus $B$) diese Eigenschaft haben.

Wie man eine beliebige konvergente Folge aus $A\cup B$ mit Folgen aus $A$ oder aus $B$ in Verbindung bringt, hatte ich in Beitrag Nr. 1 beschrieben.



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08Student15
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Ich steh da wohl wirklich auf dem Schlauch.
Vielen Dank Euch, die übrigen Ungereimtheiten/Unklarheiten werde ich mit meinen Übungsleitern klären.



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08Student15 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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