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 Wie kann man sich messbare Funktionen bildlich vorstellen? |
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alli_0965
Neu 
Dabei seit: 28.11.2020
Mitteilungen: 2
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Hey,
ich studiere Mathematik und kann mir die messbaren Funktionen nicht wirklich bildlich vorstellen.
Deshalb meine Frage: Wie kann man sich messbare Funktionen bildlich vorstellen?
LG und Danke im voraus
alli_0965
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5241
Herkunft: Berlin
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28
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Welche Messräume betrachtest du genau? Davon hängt die Antwort offensichtlich ab. Betrachtest du $\IR^n$ mit der Borel'schen $\sigma$-Algebra? Oder betrachtest du vielleicht die Lebesgue $\sigma$-Algebra? Und was erwartest du genau von einer bildlichen Vorstellung?
Ich antworte mal für die Lebesgue-Algebra. Dann kann man grob sagen, dass praktisch alle konkret hinschreibbaren Funktionen Lebesgue-messbar sind. Unstetige Funktionen sind ja ganz leicht zu konstruieren, indem man eine Sprungstelle einbaut, aber nicht-Lebesgue-messbare Funktionen sind schon ziemlich "chaotisch". Ich sage damit nicht, dass jede Funktion Lebesgue-messbar ist. Für jede Menge $A \subseteq \IR$, die nicht Lebesgue-messbar ist, ist ihre charakteristische Funktion $\chi_A : \IR \to \IR$ nicht Lebesgue-messbar. Beispiele für solche Mengen sind Vitali-Mengen. Die Konstruktion dieser Mengen ist allerdings nicht besonders konkret und benutzt das Auswahlaxiom. Tatsächlich ist es konsistent mit ZF (dem üblichen Axiomensystem der Mengenlehre, nur ohne Auswahlaxiom), dass jede Teilmenge von $\IR$ Lebesgue-messbar ist (Solovay-Modell), und in dieser "Welt" wäre dann auch jede Funktion $\IR \to X$ Lebesgue-messbar.
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1120
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Ergänzend zu Triceratops Antwort sollte/kann man sich also messbare Funktionen nicht konkret bildlich vorstellen.
Stattdessen solltest du unter der Eigenschaft "messbar" dir genau die notwendige Eigenschaft für die Definition des Lebesgue-Integrals vorstellen. Mir gefällt die Definition von Terence Tao in An introduction to measure theory in einem Spezialfall (wenn man sich etwas vorstellen möchte, dann lohnt es sich in Spezialfälle zu schauen - beispielsweise ist $\mathbb{R}^n$ für $n > 3$ schwer für den Menschen vorzustellen):
Eine Funktion $f:\mathbb{R}^d \to [0, \infty]$ heißt messbar, wenn es ein punktweiser Grenzwert von einfachen Funktionen $\mathbb{R}^d \to [0, \infty]$ ist.
Wo genau man überall sich bei der Definition spezialisiert hat und wieso es in diesem Spezialfall äquivalent zur üblichen Textbook-Definition ist, sei dir überlassen. Hieran erkennt man aber sehr schön genau die Eigenschaft, die man für Lebesgue Integrale möchte und man kann sich zumindest auch einfache Funktionen bildlich vorstellen.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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alli_0965
Neu 
Dabei seit: 28.11.2020
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Danke Kezer und Triceratops, ihr habt mir auf die Sprünge geholfen.
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