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Universität/Hochschule Gleichheit zweier Formeln
Columbo701
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.11.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-28


Hallo,

im Zuge einer Graphentheorie-Aufgabe zu binären Bäumen kam folgende Formel vor:

\(n \cdot \lfloor \log_2(n) \rfloor -2^\left(\lfloor \log_2(n) \rfloor +1 \right)\)



Ein Kommilitone bekam etwas anderes heraus:

\(n \cdot \lfloor \log_2(n-1) \rfloor -2^\left(\lfloor \log_2(n-1) \rfloor +1 \right)\)


Also er hat also quasi dasselbe wie ich, aber überall steht bei ihm der 2. Logarithmus von n-1, wo ich den 2. Logarithmus von n habe.

Trotzdem scheinen die Werte für jedes n exakt übereinzustimmen!  Wir haben es bis n=60 oder so durchprobiert.

Nun sitzen wir schon ewig zusammen und zerbrechen uns den Kopf darüber, woran das liegt. Sind die Terme wirklich gleich? Wegen der Abrunden-Funktion wissen wir nicht recht weiter, wie wir die Terme umformen können, um die Gleichheit zu zeigen. Kann uns jemand helfen?

Oder kann uns jemand einen Wert von n nennen, wo die Terme doch unterschiedlich sind? Für uns ist es irgendwie verwunderlich, dass wir überall dasselbe rauskriegen.

DANKE schon mal!







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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2517
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

wenn $n$ keine Zweierpotenz ist, dann sind die beiden Terme offenbar gleich. Wenn $n$ eine Zweierpotenz ist, kann man nachrechnen, dass die Terme übereinstimmen.\(\endgroup\)

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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1379
Herkunft: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-28


Hallo Columbo701 und willkommen auf dem Matheplaneten,

Wenn n keine Zweierpotenz ist, unterscheiden sich \(\log_2(n)\) und \(\log_2(n-1)\) stets weniger als um 1. Es reicht also den Spezialfall \(n=2^m\) nachzurechnen.

lg Wladimir

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