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Autor |
Gleichheit zweier Formeln |
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Columbo701
Junior  Dabei seit: 28.11.2020 Mitteilungen: 5
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Hallo,
im Zuge einer Graphentheorie-Aufgabe zu binären Bäumen kam folgende Formel vor:
\(n \cdot \lfloor \log_2(n) \rfloor -2^\left(\lfloor \log_2(n) \rfloor +1 \right)\)
Ein Kommilitone bekam etwas anderes heraus:
\(n \cdot \lfloor \log_2(n-1) \rfloor -2^\left(\lfloor \log_2(n-1) \rfloor +1 \right)\)
Also er hat also quasi dasselbe wie ich, aber überall steht bei ihm der 2. Logarithmus von n-1, wo ich den 2. Logarithmus von n habe.
Trotzdem scheinen die Werte für jedes n exakt übereinzustimmen! Wir haben es bis n=60 oder so durchprobiert.
Nun sitzen wir schon ewig zusammen und zerbrechen uns den Kopf darüber, woran das liegt. Sind die Terme wirklich gleich? Wegen der Abrunden-Funktion wissen wir nicht recht weiter, wie wir die Terme umformen können, um die Gleichheit zu zeigen. Kann uns jemand helfen?
Oder kann uns jemand einen Wert von n nennen, wo die Terme doch unterschiedlich sind? Für uns ist es irgendwie verwunderlich, dass wir überall dasselbe rauskriegen.
DANKE schon mal!
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Link | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Nuramon
Senior  Dabei seit: 23.01.2008 Mitteilungen: 2517
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
wenn $n$ keine Zweierpotenz ist, dann sind die beiden Terme offenbar gleich. Wenn $n$ eine Zweierpotenz ist, kann man nachrechnen, dass die Terme übereinstimmen.\(\endgroup\)
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wladimir_1989
Senior  Dabei seit: 23.12.2014 Mitteilungen: 1379
Herkunft: Freiburg
 |     Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-28
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Hallo Columbo701 und willkommen auf dem Matheplaneten,
Wenn n keine Zweierpotenz ist, unterscheiden sich \(\log_2(n)\) und \(\log_2(n-1)\) stets weniger als um 1. Es reicht also den Spezialfall \(n=2^m\) nachzurechnen.
lg Wladimir
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